Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 37428
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
lcdvsubval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m = (-g𝐶)
lcdvsubval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsubval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvsubval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37402 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐶) = (+g𝐶)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐶)
10 eqid 2771 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2771 . . . . 5 ( ·𝑠𝐶) = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2771 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2771 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 19128 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
1615fveq1d 6335 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋))
17 lcdvsubval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20 eqid 2771 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
21 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2210lmodfgrp 19082 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
2410lmodring 19081 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
2726, 13ringidcl 18776 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2926, 12grpinvcl 17675 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 37410 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
3230, 31eleqtrd 2852 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 37415 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 37408 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 37420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg𝑅))
38 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 37419 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝑅))
4037, 39fveq12d 6340 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140oveq1d 6811 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺))
4241fveq1d 6335 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋))
43 eqid 2771 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
441, 17, 3dvhlmod 36920 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4519lmodring 19081 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 18760 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 19100 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5121, 36grpinvcl 17675 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 37414 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 37406 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 18803 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5642, 53, 553eqtrd 2809 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5756oveq2d 6812 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 37406 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6021, 20, 36, 59grpsubval 17673 . . . 4 (((𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6158, 54, 60syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6257, 61eqtr4d 2808 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
6316, 35, 623eqtrd 2809 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632  1rcur 18709  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  HLchlt 35159  LHypclh 35793  DVecHcdvh 36888  LCDualclcd 37396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-tpos 7508  df-undef 7555  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-lsm 18258  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-drng 18959  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lvec 19316  df-lsatoms 34785  df-lshyp 34786  df-lcv 34828  df-lfl 34867  df-lkr 34895  df-ldual 34933  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35307  df-lplanes 35308  df-lvols 35309  df-lines 35310  df-psubsp 35312  df-pmap 35313  df-padd 35605  df-lhyp 35797  df-laut 35798  df-ldil 35913  df-ltrn 35914  df-trl 35969  df-tgrp 36553  df-tendo 36565  df-edring 36567  df-dveca 36813  df-disoa 36839  df-dvech 36889  df-dib 36949  df-dic 36983  df-dih 37039  df-doch 37158  df-djh 37205  df-lcdual 37397
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  37730
  Copyright terms: Public domain W3C validator