Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsextlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsextlem4 19209
 Description: Lemma for lbsext 19211. lbsextlem3 19208 satisfies the conditions for the application of Zorn's lemma zorn 9367 (thus invoking AC), and so there is a maximal linearly independent set extending 𝐶. Here we prove that such a set is a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsext.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsext.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbsext.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lbsext.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lbsext.c (𝜑𝐶𝑉)
lbsext.x (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
lbsext.s 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
lbsext.k (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
Assertion
Ref Expression
lbsextlem4 (𝜑 → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥,𝑠   𝑆,𝑠,𝑥   𝑥,𝑧,𝐶   𝑥,𝑁,𝑧   𝑥,𝑉,𝑧   𝑥,𝑊   𝑧,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑠)   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧,𝑠)   𝑁(𝑠)   𝑉(𝑠)   𝑊(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lbsextlem4
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lbsext.k . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑉 ∈ dom card)
2 lbsext.s . . . . 5 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))}
3 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑧 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})))} ⊆ 𝒫 𝑉
42, 3eqsstri 3668 . . . 4 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉
5 ssnum 8900 . . . 4 ((𝒫 𝑉 ∈ dom card ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑉) → 𝑆 ∈ dom card)
61, 4, 5sylancl 695 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ dom card)
7 lbsext.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lbsext.j . . . 4 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
9 lbsext.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10 lbsext.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lbsext.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
12 lbsext.x . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
137, 8, 9, 10, 11, 12, 2lbsextlem1 19206 . . 3 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
1410adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
1511adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝐶𝑉)
1612adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → ∀𝑥𝐶 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐶 ∖ {𝑥})))
17 eqid 2651 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
18 simpr1 1087 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑦𝑆)
19 simpr2 1088 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑦 ≠ ∅)
20 simpr3 1089 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → [] Or 𝑦)
21 eqid 2651 . . . . . 6 𝑢𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥})) = 𝑢𝑦 (𝑁‘(𝑢 ∖ {𝑥}))
227, 8, 9, 14, 15, 16, 2, 17, 18, 19, 20, 21lbsextlem3 19208 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦)) → 𝑦𝑆)
2322ex 449 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦) → 𝑦𝑆))
2423alrimiv 1895 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦((𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦) → 𝑦𝑆))
25 zornn0g 9365 . . 3 ((𝑆 ∈ dom card ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦((𝑦𝑆𝑦 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑦) → 𝑦𝑆)) → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)
266, 13, 24, 25syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → ∃𝑠𝑆𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)
27 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠𝑆)
28 sseq2 3660 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑠 → (𝐶𝑧𝐶𝑠))
29 difeq1 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑠 → (𝑧 ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑥}))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑠 → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
3130eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑠 → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
3231notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑠 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
3332raleqbi1dv 3176 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
3428, 33anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
3534, 2elrab2 3399 . . . . . . . . 9 (𝑠𝑆 ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
3627, 35sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
3736simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝑉)
3837elpwid 4203 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠𝑉)
39 lveclmod 19154 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4010, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4140adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑊 ∈ LMod)
427, 9lspssv 19031 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
4341, 38, 42syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑁𝑠) ⊆ 𝑉)
44 ssun1 3809 . . . . . . . . . . . 12 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
46 ssun2 3810 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑤} ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})
47 vsnid 4242 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑤 ∈ {𝑤}
4846, 47sselii 3633 . . . . . . . . . . . . 13 𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤})
497, 9lspssid 19033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉) → 𝑠 ⊆ (𝑁𝑠))
5041, 38, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠 ⊆ (𝑁𝑠))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ⊆ (𝑁𝑠))
52 eldifn 3766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁𝑠))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁𝑠))
5451, 53ssneldd 3639 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑤𝑠)
55 nelne1 2919 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ¬ 𝑤𝑠) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
5648, 54, 55sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ≠ 𝑠)
5756necomd 2878 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤}))
58 df-pss 3623 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}) ↔ (𝑠 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ 𝑠 ≠ (𝑠 ∪ {𝑤})))
5945, 57, 58sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
6038adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑠𝑉)
61 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) → 𝑤𝑉)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝑤𝑉)
6362snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → {𝑤} ⊆ 𝑉)
6460, 63unssd 3822 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
65 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑊) ∈ V
667, 65eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 ∈ V
6766elpw2 4858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ↔ (𝑠 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝑉)
6864, 67sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉)
6936simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝐶𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
7069simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝐶𝑠)
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝐶𝑠)
7271, 44syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → 𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}))
7310ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑊 ∈ LVec)
7438adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑠𝑉)
7574ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
7662adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤𝑉)
77 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
78 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥𝑠)
7954adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑤𝑠)
80 nelne2 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑥𝑠 ∧ ¬ 𝑤𝑠) → 𝑥𝑤)
8178, 79, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥𝑤)
82 nelsn 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥𝑤 → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
84 disjsn 4278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ {𝑤})
8583, 84sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅)
86 disj3 4054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (({𝑤} ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
8785, 86sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑤} = ({𝑤} ∖ {𝑥}))
8887uneq2d 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥})))
89 difundir 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ ({𝑤} ∖ {𝑥}))
9088, 89syl6reqr 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤}))
9190fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
9277, 91eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})))
9369simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
95 rsp 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})) → (𝑥𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
9694, 78, 95sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))
9792, 96eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))
987, 17, 9lspsolv 19191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LVec ∧ ((𝑠 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉𝑤𝑉𝑥 ∈ ((𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑤})) ∖ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
9973, 75, 76, 97, 98syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})))
100 undif1 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝑠 ∪ {𝑥})
10178snssd 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → {𝑥} ⊆ 𝑠)
102 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({𝑥} ⊆ 𝑠 ↔ (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
103101, 102sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑠 ∪ {𝑥}) = 𝑠)
104100, 103syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → ((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝑠)
105104fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → (𝑁‘((𝑠 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})) = (𝑁𝑠))
10699, 105eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) ∧ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))) → 𝑤 ∈ (𝑁𝑠))
107106expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ((𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → 𝑤 ∈ (𝑁𝑠)))
10853, 107mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
109 imnan 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) ↔ ¬ (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
110108, 109sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑥𝑠 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
111110ralrimiv 2994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
112 difssd 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠)
1137, 9lspss 19032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑉 ∧ (𝑠 ∖ {𝑤}) ⊆ 𝑠) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁𝑠))
11441, 38, 112, 113syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁𝑠))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})) ⊆ (𝑁𝑠))
116115, 53ssneldd 3639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
117 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑤 ∈ V
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
119 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑤 → {𝑥} = {𝑤})
120119difeq2d 3761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}))
121 difun2 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑤}) = (𝑠 ∖ {𝑤})
122120, 121syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}) = (𝑠 ∖ {𝑤}))
123122fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) = (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
124118, 123eleq12d 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
125124notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑤 → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤}))))
126117, 125ralsn 4254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑤 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑤})))
127116, 126sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
128 ralun 3828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑤} ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
129111, 127, 128syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
13072, 129jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
131 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝐶𝑧𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤})))
132 difeq1 3754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑧 ∖ {𝑥}) = ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))
133132fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) = (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))
134133eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
135134notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
136135raleqbi1dv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥})) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥}))))
137131, 136anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → ((𝐶𝑧 ∧ ∀𝑥𝑧 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑧 ∖ {𝑥}))) ↔ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
138137, 2elrab2 3399 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (𝐶 ⊆ (𝑠 ∪ {𝑤}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∪ {𝑤}) ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘((𝑠 ∪ {𝑤}) ∖ {𝑥})))))
13968, 130, 138sylanbrc 699 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → (𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆)
140 simplrr 818 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)
141 psseq2 3728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (𝑠𝑡𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
142141notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (𝑠 ∪ {𝑤}) → (¬ 𝑠𝑡 ↔ ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
143142rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∪ {𝑤}) ∈ 𝑆 → (∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡 → ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤})))
144139, 140, 143sylc 65 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠))) → ¬ 𝑠 ⊊ (𝑠 ∪ {𝑤}))
14559, 144pm2.65da 599 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → ¬ 𝑤 ∈ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)))
146145eq0rdv 4012 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) = ∅)
147 ssdif0 3975 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (𝑁𝑠) ↔ (𝑉 ∖ (𝑁𝑠)) = ∅)
148146, 147sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑉 ⊆ (𝑁𝑠))
14943, 148eqssd 3653 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑁𝑠) = 𝑉)
15010adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑊 ∈ LVec)
1517, 8, 9islbs2 19202 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (𝑠𝐽 ↔ (𝑠𝑉 ∧ (𝑁𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
152150, 151syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠𝐽 ↔ (𝑠𝑉 ∧ (𝑁𝑠) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑠 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∖ {𝑥})))))
15338, 149, 93, 152mpbir3and 1264 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → 𝑠𝐽)
154153, 70jca 553 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡)) → (𝑠𝐽𝐶𝑠))
155154ex 449 . . 3 (𝜑 → ((𝑠𝑆 ∧ ∀𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡) → (𝑠𝐽𝐶𝑠)))
156155reximdv2 3043 . 2 (𝜑 → (∃𝑠𝑆𝑡𝑆 ¬ 𝑠𝑡 → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠))
15726, 156mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑠𝐽 𝐶𝑠)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054  ∀wal 1521   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552   Or wor 5063  dom cdm 5143  ‘cfv 5926   [⊊] crpss 6978  cardccrd 8799  Basecbs 15904  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019  LBasisclbs 19122  LVecclvec 19150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-rpss 6979  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lbs 19123  df-lvec 19151 This theorem is referenced by:  lbsextg  19210
 Copyright terms: Public domain W3C validator