Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbsexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbsexg 19386
 Description: Every vector space has a basis. This theorem is an AC equivalent; this is the forward implication. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lbsex.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbsexg ((CHOICE𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)

Proof of Theorem lbsexg
Dummy variables 𝑥 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LVec)
2 fvex 6363 . . . . 5 (Base‘𝑊) ∈ V
32pwex 4997 . . . 4 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ V
4 dfac10 9171 . . . . 5 (CHOICE ↔ dom card = V)
54biimpi 206 . . . 4 (CHOICE → dom card = V)
63, 5syl5eleqr 2846 . . 3 (CHOICE → 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card)
7 0ss 4115 . . . 4 ∅ ⊆ (Base‘𝑊)
8 ral0 4220 . . . 4 𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))
9 lbsex.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
10 eqid 2760 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
11 eqid 2760 . . . . 5 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
129, 10, 11lbsextg 19384 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) ∧ ∅ ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ¬ 𝑥 ∈ ((LSpan‘𝑊)‘(∅ ∖ {𝑥}))) → ∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
137, 8, 12mp3an23 1565 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝒫 (Base‘𝑊) ∈ dom card) → ∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
141, 6, 13syl2anr 496 . 2 ((CHOICE𝑊 ∈ LVec) → ∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠)
15 rexn0 4218 . 2 (∃𝑠𝐽 ∅ ⊆ 𝑠𝐽 ≠ ∅)
1614, 15syl 17 1 ((CHOICE𝑊 ∈ LVec) → 𝐽 ≠ ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  cardccrd 8971  CHOICEwac 9148  Basecbs 16079  LSpanclspn 19193  LBasisclbs 19296  LVecclvec 19324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-rpss 7103  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-ac 9149  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lbs 19297  df-lvec 19325 This theorem is referenced by:  lbsex  19387
 Copyright terms: Public domain W3C validator