MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbinf 11177
Description: If a set of reals contains a lower bound, the lower bound is its infimum. (Contributed by NM, 9-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinf ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem lbinf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 10319 . . 3 < Or ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → < Or ℝ)
3 lbcl 11175 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆)
4 ssel 3744 . . . 4 (𝑆 ⊆ ℝ → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
54adantr 466 . . 3 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → ((𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ))
63, 5mpd 15 . 2 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
76adantr 466 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∈ ℝ)
8 ssel2 3745 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
98adantlr 686 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ℝ)
10 lble 11176 . . . 4 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
11103expa 1110 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ≤ 𝑧)
127, 9, 11lensymd 10389 . 2 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) ∧ 𝑧𝑆) → ¬ 𝑧 < (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
132, 6, 3, 12infmin 8555 1 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦) → inf(𝑆, ℝ, < ) = (𝑥𝑆𝑦𝑆 𝑥𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  wss 3721   class class class wbr 4784   Or wor 5169  crio 6752  infcinf 8502  cr 10136   < clt 10275  cle 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281
This theorem is referenced by:  lbinfcl  11178  lbinfle  11179
  Copyright terms: Public domain W3C validator