Theorem lbicc2 12494

Description: The lower bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbicc2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem lbicc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1129	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		xrleid 12187	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	2	3ad2ant1 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		simp3 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
5		elicc1 12423	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
6	5	3adant3 1125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵)))
7	1, 3, 4, 6	mpbir3and 1426	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1070   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  ℝ^*cxr 10274   ≤ cle 10276  [,]cicc 12382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-icc 12386

This theorem is referenced by:  icccmplem1  22844  reconnlem2  22849  oprpiece1res1  22969  pcoass  23042  ivthlem1  23438  ivth2  23442  ivthle  23443  ivthle2  23444  evthicc  23446  ovolicc2lem5  23508  dyadmaxlem  23584  rolle  23972  cmvth  23973  mvth  23974  dvlip  23975  c1liplem1  23978  dveq0  23982  dvgt0lem1  23984  lhop1lem  23995  dvcnvrelem1  23999  dvcvx  24002  dvfsumle  24003  dvfsumge  24004  dvfsumabs  24005  dvfsumlem2  24009  ftc2  24026  ftc2ditglem  24027  itgparts  24029  itgsubstlem  24030  taylfval  24332  tayl0  24335  efcvx  24422  pige3  24489  logccv  24629  loglesqrt  24719  eliccioo  29973  ftc2re  31010  cvmliftlem6  31604  cvmliftlem8  31606  cvmliftlem9  31607  cvmliftlem10  31608  cvmliftlem13  31610  ivthALT  32661  ftc2nc  33819  areacirc  33830  itgpowd  38319  iccintsng  40262  icccncfext  40612  cncfiooicclem1  40618  dvbdfbdioolem1  40655  itgsin0pilem1  40677  itgcoscmulx  40696  itgsincmulx  40701  fourierdlem20  40855  fourierdlem51  40885  fourierdlem54  40888  fourierdlem64  40898  fourierdlem73  40907  fourierdlem81  40915  fourierdlem102  40936  fourierdlem103  40937  fourierdlem104  40938  fourierdlem114  40948  etransclem46  41008  hoidmv1lelem1  41319