Theorem lbfzo0 12722

Description: An integer is strictly greater than zero iff it is a member of ℕ. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lbfzo0	⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem lbfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 11600	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		3anass 1081	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴)))
3	1, 2	mpbiran 991	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
4		fzolb 12690	. 2 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
5		elnnz 11599	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐴))
6	3, 4, 5	3bitr4i 292	1 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ ℕ)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  0cc0 10148   < clt 10286  ℕcn 11232  ℤcz 11589  ..^cfzo 12679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680

This theorem is referenced by:  elfzo0  12723  fzo0n0  12734  fzo0end  12774  wrdsymb1  13549  ccatfv0  13575  ccat1st1st  13622  ccat2s1p1  13623  lswccats1fst  13631  swrdfv0  13644  swrdn0  13650  swrd0fv0  13660  swrdtrcfv0  13662  cats1un  13695  revs1  13734  repswfsts  13748  cshwidx0mod  13771  cshw1  13788  scshwfzeqfzo  13792  cats1fvn  13823  nnnn0modprm0  15733  cshwrepswhash1  16031  efgsval2  18366  efgs1b  18369  efgsp1  18370  efgsres  18371  efgredlemd  18377  efgredlem  18380  efgrelexlemb  18383  pgpfaclem1  18700  dchrisumlem3  25400  tgcgr4  25646  wlkonl1iedg  26792  usgr2pthlem  26890  pthdlem2lem  26894  lfgrn1cycl  26929  uspgrn2crct  26932  crctcshwlkn0lem6  26939  0enwwlksnge1  26994  wwlksm1edg  27011  wwlksnwwlksnon  27054  wwlksnwwlksnonOLD  27056  clwlkclwwlklem2  27144  clwlkclwwlkf1lem3  27150  clwwlkel  27196  clwwlkf1  27199  umgr2cwwk2dif  27216  clwlksf1clwwlklemOLD  27243  clwwlknonwwlknonb  27275  clwwlknonwwlknonbOLD  27276  upgr3v3e3cycl  27353  upgr4cycl4dv4e  27358  2clwwlk2clwwlk  27528  lmatcl  30212  fib0  30791  signsvtn0  30977  reprpmtf1o  31034  poimirlem3  33743  amgm2d  39021  amgm3d  39022  amgm4d  39023  iccpartigtl  41887  iccpartlt  41888  pfxfv0  41928  pfxtrcfv0  41930  pfx1  41939  pfx2  41940  amgmw2d  43081