MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lawcos 24788
Description: Law of cosines (also known as the Al-Kashi theorem or the generalized Pythagorean theorem, or the cosine formula or cosine rule). Given three distinct points A, B, and C, prove a relationship between their segment lengths. This theorem is expressed using the complex number plane as a plane, where 𝐹 is the signed angle construct (as used in ang180 24786), 𝑋 is the distance of line segment BC, 𝑌 is the distance of line segment AC, 𝑍 is the distance of line segment AB, and 𝑂 is the signed angle m/_ BCA on the complex plane. We translate triangle ABC to move C to the origin (C-C), B to U=(B-C), and A to V=(A-C), then use lemma lawcoslem1 24787 to prove this algebraically simpler case. The metamath convention is to use a signed angle; in this case the sign doesn't matter because we use the cosine of the angle (see cosneg 15105). The Pythagorean theorem pythag 24789 is a special case of the law of cosines. The theorem's expression and approach were suggested by Mario Carneiro. This is Metamath 100 proof #94. (Contributed by David A. Wheeler, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcos.1 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
lawcos.2 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
lawcos.3 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
lawcos.4 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
lawcos.5 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
Assertion
Ref Expression
lawcos (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lawcos
StepHypRef Expression
1 subcl 10503 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
213adant2 1152 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
32adantr 467 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
4 subcl 10503 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
543adant1 1151 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
65adantr 467 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 subeq0 10530 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) = 0 ↔ 𝐴 = 𝐶))
87necon3bid 2990 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐴𝐶))
98bicomd 214 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶) ≠ 0))
1093adant2 1152 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶) ≠ 0))
1110biimpa 463 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐴𝐶) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
1211adantrr 697 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐴𝐶) ≠ 0)
13 subeq0 10530 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) = 0 ↔ 𝐵 = 𝐶))
1413necon3bid 2990 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶) ≠ 0 ↔ 𝐵𝐶))
1514bicomd 214 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) ≠ 0))
16153adant1 1151 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) ≠ 0))
1716biimpa 463 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ 𝐵𝐶) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
1817adantrl 696 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝐵𝐶) ≠ 0)
193, 6, 12, 18lawcoslem1 24787 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
20 nnncan2 10541 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)) = (𝐴𝐵))
2120fveq2d 6352 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶))) = (abs‘(𝐴𝐵)))
22 lawcos.4 . . . . 5 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
2321, 22syl6reqr 2827 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝑍 = (abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶))))
2423oveq1d 6827 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2))
2524adantr 467 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = ((abs‘((𝐴𝐶) − (𝐵𝐶)))↑2))
263abscld 14405 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
2726recnd 10291 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
2827sqcld 13235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐶))↑2) ∈ ℂ)
296abscld 14405 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
3029recnd 10291 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
3130sqcld 13235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐵𝐶))↑2) ∈ ℂ)
3228, 31addcomd 10461 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) = (((abs‘(𝐵𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴𝐶))↑2)))
33 lawcos.2 . . . . . 6 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
3433oveq1i 6822 . . . . 5 (𝑋↑2) = ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)
35 lawcos.3 . . . . . 6 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
3635oveq1i 6822 . . . . 5 (𝑌↑2) = ((abs‘(𝐴𝐶))↑2)
3734, 36oveq12i 6824 . . . 4 ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐵𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐴𝐶))↑2))
3832, 37syl6reqr 2827 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) = (((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)))
3927, 30mulcomd 10284 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) = ((abs‘(𝐵𝐶)) · (abs‘(𝐴𝐶))))
4033, 35oveq12i 6824 . . . . . 6 (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐵𝐶)) · (abs‘(𝐴𝐶)))
4139, 40syl6reqr 2827 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑋 · 𝑌) = ((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))))
42 lawcos.5 . . . . . . . . 9 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
4342fveq2i 6351 . . . . . . . 8 (cos‘𝑂) = (cos‘((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)))
44 lawcos.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
4544, 6, 18, 3, 12angvald 24776 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) = (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
4645fveq2d 6352 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
4743, 46syl5eq 2820 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
483, 6, 18divcld 11024 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ∈ ℂ)
493, 6, 12, 18divne0d 11040 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ≠ 0)
5048, 49logcld 24559 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ∈ ℂ)
5150imcld 14165 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))) ∈ ℝ)
52 recosval 15094 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))) ∈ ℝ → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
5351, 52syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘(ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
5447, 53eqtrd 2808 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
55 efiarg 24595 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) ≠ 0) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))) = (((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
5648, 49, 55syl2anc 574 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))) = (((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
5756fveq2d 6352 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℜ‘(exp‘(i · (ℑ‘(log‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))) = (ℜ‘(((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
5848abscld 14405 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ∈ ℝ)
5948, 49absne0d 14416 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) ≠ 0)
6058, 48, 59redivd 14199 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (ℜ‘(((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))) = ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
6154, 57, 603eqtrd 2812 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (cos‘𝑂) = ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))
6241, 61oveq12d 6830 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) = (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))
6362oveq2d 6828 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) = (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶)))))))
6438, 63oveq12d 6830 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))) = ((((abs‘(𝐴𝐶))↑2) + ((abs‘(𝐵𝐶))↑2)) − (2 · (((abs‘(𝐴𝐶)) · (abs‘(𝐵𝐶))) · ((ℜ‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))) / (abs‘((𝐴𝐶) / (𝐵𝐶))))))))
6519, 25, 643eqtr4d 2818 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148  wne 2946  cdif 3726  {csn 4326  cfv 6042  (class class class)co 6812  cmpt2 6814  cc 10157  cr 10158  0cc0 10159  ici 10161   + caddc 10162   · cmul 10164  cmin 10489   / cdiv 10907  2c2 11293  cexp 13089  cre 14067  cim 14068  abscabs 14204  expce 15020  cosccos 15023  logclog 24543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237  ax-addf 10238  ax-mulf 10239
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-pm 8033  df-ixp 8084  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-fi 8494  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-cda 9213  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-xneg 12168  df-xadd 12169  df-xmul 12170  df-ioo 12403  df-ioc 12404  df-ico 12405  df-icc 12406  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-mod 12899  df-seq 13031  df-exp 13090  df-fac 13287  df-bc 13316  df-hash 13344  df-shft 14037  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-ef 15026  df-sin 15028  df-cos 15029  df-pi 15031  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-starv 16184  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-ip 16187  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-unif 16193  df-hom 16194  df-cco 16195  df-rest 16311  df-topn 16312  df-0g 16330  df-gsum 16331  df-topgen 16332  df-pt 16333  df-prds 16336  df-xrs 16390  df-qtop 16395  df-imas 16396  df-xps 16398  df-mre 16474  df-mrc 16475  df-acs 16477  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-submnd 17564  df-mulg 17769  df-cntz 17977  df-cmn 18422  df-psmet 19973  df-xmet 19974  df-met 19975  df-bl 19976  df-mopn 19977  df-fbas 19978  df-fg 19979  df-cnfld 19982  df-top 20939  df-topon 20956  df-topsp 20978  df-bases 20991  df-cld 21064  df-ntr 21065  df-cls 21066  df-nei 21143  df-lp 21181  df-perf 21182  df-cn 21272  df-cnp 21273  df-haus 21360  df-tx 21606  df-hmeo 21799  df-fil 21890  df-fm 21982  df-flim 21983  df-flf 21984  df-xms 22365  df-ms 22366  df-tms 22367  df-cncf 22921  df-limc 23871  df-dv 23872  df-log 24545
This theorem is referenced by:  pythag  24789  ssscongptld  24794  heron  24807
  Copyright terms: Public domain W3C validator