Theorem lattr 17257

Description: A lattice ordering is transitive. (sstr 3752 analog.) (Contributed by NM, 17-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latref.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lattr	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Proof of Theorem lattr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latpos 17251	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2		latref.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		latref.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4	2, 3	postr 17154	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
5	1, 4	sylan 489	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  Basecbs 16059  lecple 16150  Posetcpo 17141  Latclat 17246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-nul 4941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-poset 17147  df-lat 17247

This theorem is referenced by:  lattrd  17259  latjlej1  17266  latjlej12  17268  latnlej2  17272  latmlem1  17282  latmlem12  17284  clatleglb  17327  lecmtN  35046  hlrelat2  35192  ps-2  35267  dalem3  35453  dalem17  35469  dalem21  35483  dalem25  35487  linepsubN  35541  pmapsub  35557  cdlemblem  35582  pmapjoin  35641  lhpmcvr4N  35815  4atexlemnclw  35859  cdlemd3  35990  cdleme3g  36024  cdleme3h  36025  cdleme7d  36036  cdleme21c  36117  cdleme32b  36232  cdleme35fnpq  36239  cdleme35f  36244  cdleme48bw  36292  cdlemf1  36351  cdlemg2fv2  36390  cdlemg7fvbwN  36397  cdlemg4  36407  cdlemg6c  36410  cdlemg27a  36482  cdlemg33b0  36491  cdlemg33a  36496  cdlemk3  36623  dia2dimlem1  36855  dihord6b  37051  dihord5apre  37053  dihglbcpreN  37091