MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latref Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latref 17100
Description: A lattice ordering is reflexive. (ssid 3657 analog.) (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latref.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latref.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latref ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)

Proof of Theorem latref
StepHypRef Expression
1 latpos 17097 . 2 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
2 latref.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 latref.l . . 3 = (le‘𝐾)
42, 3posref 16998 . 2 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
51, 4sylan 487 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  Basecbs 15904  lecple 15995  Posetcpo 16987  Latclat 17092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-nul 4822
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fv 5934  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lat 17093
This theorem is referenced by:  latleeqj1  17110  latjidm  17121  latleeqm1  17126  latmidm  17133  olj01  34830  olm01  34841  cmtidN  34862  ps-1  35081  3at  35094  llnneat  35118  2atnelpln  35148  lplnneat  35149  lplnnelln  35150  3atnelvolN  35190  lvolneatN  35192  lvolnelln  35193  lvolnelpln  35194  4at  35217  lplncvrlvol  35220  lncmp  35387  lhpocnle  35620  ltrnel  35743  ltrncnvel  35746  ltrnmwOLD  35756  tendoidcl  36374  cdlemk39u  36573  dia1eldmN  36647  dia1N  36659  dihwN  36895  dihglblem5apreN  36897  dihmeetbclemN  36910
  Copyright terms: Public domain W3C validator