MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latpos 17271
Description: A lattice is a poset. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
latpos (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)

Proof of Theorem latpos
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2760 . . 3 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 eqid 2760 . . 3 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
41, 2, 3islat 17268 . 2 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∧ dom (meet‘𝐾) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
54simplbi 478 1 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   × cxp 5264  dom cdm 5266  cfv 6049  Basecbs 16079  Posetcpo 17161  joincjn 17165  meetcmee 17166  Latclat 17266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-xp 5272  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fv 6057  df-lat 17267
This theorem is referenced by:  latref  17274  latasymb  17275  lattr  17277  latjcom  17280  latjle12  17283  latleeqj1  17284  latmcom  17296  latlem12  17299  latleeqm1  17300  atlpos  35109  cvlposN  35135  hlpos  35173
  Copyright terms: Public domain W3C validator