MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnle 17207
Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 28603 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l = (le‘𝐾)
latnle.s < = (lt‘𝐾)
latnle.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnle ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem latnle
StepHypRef Expression
1 latnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 latnle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
54biantrurd 530 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
61, 2, 3latleeqj1 17185 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
763com23 1120 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
8 eqcom 2731 . . . . 5 ((𝑌 𝑋) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋))
97, 8syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋)))
101, 3latjcom 17181 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1110eqeq2d 2734 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = (𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 𝑋)))
129, 11bitr4d 271 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑋 𝑌)))
1312necon3bbid 2933 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑌)))
141, 3latjcl 17173 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
15 latnle.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
162, 15pltval 17082 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
1714, 16syld3an3 1484 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
185, 13, 173bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  lecple 16071  ltcplt 17063  joincjn 17066  Latclat 17167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-preset 17050  df-poset 17068  df-plt 17080  df-lub 17096  df-glb 17097  df-join 17098  df-meet 17099  df-lat 17168
This theorem is referenced by:  cvlcvr1  35046  hlrelat  35108  hlrelat2  35109  cvr2N  35117  cvrexchlem  35125
  Copyright terms: Public domain W3C validator