MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmlem1 17288
Description: Add meet to both sides of a lattice ordering. (Contributed by NM, 10-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmlem1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latmlem1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latmle1 17283 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
543adant3r2 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑋)
6 simpl 468 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
71, 3latmcl 17259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
873adant3r2 1197 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝐵)
9 simpr1 1232 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
10 simpr2 1234 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
111, 2lattr 17263 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
126, 8, 9, 10, 11syl13anc 1477 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑋𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
135, 12mpand 667 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) 𝑌))
141, 2, 3latmle2 17284 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
15143adant3r2 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑍) 𝑍)
1613, 15jctird 510 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍)))
17 simpr3 1236 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
188, 10, 173jca 1121 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵))
191, 2, 3latlem12 17285 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑍) ∈ 𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 571 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑍) 𝑌 ∧ (𝑋 𝑍) 𝑍) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 229 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  meetcmee 17152  Latclat 17252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-poset 17153  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-lat 17253
This theorem is referenced by:  latmlem2  17289  latmlem12  17290  dalem25  35499  dalawlem2  35673  dalawlem11  35682  dalawlem12  35683  cdleme22d  36145  cdleme30a  36180  cdleme32c  36245  cdleme32e  36247  trlcolem  36528  cdlemk5u  36663  cdlemk39  36718  cdlemm10N  36921  cdlemn2  36998  dihord1  37021
  Copyright terms: Public domain W3C validator