MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmle1 17284
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmle1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 simp1 1130 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp2 1131 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
6 simp3 1132 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
7 eqid 2771 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
81, 7, 3, 4, 5, 6latcl2 17256 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ))
98simprd 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9lemeet1 17234 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4322   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-glb 17183  df-meet 17185  df-lat 17254
This theorem is referenced by:  latleeqm1  17287  latmlem1  17289  latnlemlt  17292  latmidm  17294  latabs1  17295  latledi  17297  latmlej11  17298  oldmm1  35026  cmtbr3N  35063  cmtbr4N  35064  lecmtN  35065  cvrat4  35251  2llnmat  35332  llnmlplnN  35347  dalem3  35472  dalem27  35507  dalem54  35534  dalem55  35535  2lnat  35592  cdlema1N  35599  llnexchb2lem  35676  dalawlem1  35679  dalawlem6  35684  dalawlem11  35689  dalawlem12  35690  4atexlemunv  35874  4atexlemc  35877  4atexlemnclw  35878  4atexlemex2  35879  4atexlemcnd  35880  lautm  35902  trlval3  35996  cdlemeulpq  36029  cdleme3h  36044  cdleme4a  36048  cdleme9  36062  cdleme11g  36074  cdleme13  36081  cdleme16e  36091  cdlemednpq  36108  cdleme19b  36113  cdleme20e  36122  cdleme20j  36127  cdleme22cN  36151  cdleme22e  36153  cdleme22eALTN  36154  cdleme22g  36157  cdleme35b  36259  cdleme35f  36263  cdlemeg46vrg  36336  cdlemg11b  36451  cdlemg12f  36457  cdlemg19a  36492  cdlemg31a  36506  cdlemk12  36659  cdlemkole  36662  cdlemk12u  36681  cdlemk37  36723  dia2dimlem1  36874  dihopelvalcpre  37058  dihmeetlem1N  37100  dihglblem5apreN  37101  dihglblem2N  37104  dihmeetlem2N  37109
  Copyright terms: Public domain W3C validator