MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmcom 17282
Description: The join of a lattice commutes. (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmcom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmcom.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))

Proof of Theorem latmcom
StepHypRef Expression
1 opelxpi 5288 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
213adant1 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
3 latmcom.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
4 eqid 2770 . . . . . . 7 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 latmcom.m . . . . . . 7 = (meet‘𝐾)
63, 4, 5islat 17254 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Lat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))))
7 simprr 748 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom (join‘𝐾) = (𝐵 × 𝐵) ∧ dom = (𝐵 × 𝐵))) → dom = (𝐵 × 𝐵))
86, 7sylbi 207 . . . . 5 (𝐾 ∈ Lat → dom = (𝐵 × 𝐵))
983ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → dom = (𝐵 × 𝐵))
102, 9eleqtrrd 2852 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
11 opelxpi 5288 . . . . . 6 ((𝑌𝐵𝑋𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1211ancoms 455 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
13123adant1 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
1413, 9eleqtrrd 2852 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )
1510, 14jca 495 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom ))
16 latpos 17257 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
173, 5meetcom 17239 . . 3 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1816, 17syl3anl1 1519 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∧ ⟨𝑌, 𝑋⟩ ∈ dom )) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1915, 18mpdan 659 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  cop 4320   × cxp 5247  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  Posetcpo 17147  joincjn 17151  meetcmee 17152  Latclat 17252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-glb 17182  df-meet 17184  df-lat 17253
This theorem is referenced by:  latleeqm2  17287  latmlem2  17289  latmlej21  17299  latmlej22  17300  mod2ile  17313  olm12  35030  latm12  35032  latm32  35033  latmrot  35034  olm02  35039  omllaw2N  35046  cmtcomlemN  35050  cmtbr3N  35056  omlfh1N  35060  omlmod1i2N  35062  omlspjN  35063  cvlcvrp  35142  intnatN  35208  cvrexch  35221  cvrat4  35244  2atjm  35246  1cvrat  35277  2at0mat0  35326  dalem4  35466  dalem56  35529  atmod2i1  35662  atmod2i2  35663  llnmod2i2  35664  atmod3i1  35665  atmod3i2  35666  llnexchb2lem  35669  dalawlem3  35674  dalawlem4  35675  dalawlem6  35677  dalawlem9  35680  dalawlem11  35682  dalawlem12  35683  dalawlem15  35686  lhpmcvr  35824  4atexlemc  35870  cdleme20zN  36103  cdleme20d  36114  cdleme20l  36124  cdleme20m  36125  cdlemg12  36452  cdlemg17  36479  cdlemg19  36486  cdlemg44a  36533  dihmeetlem17N  37126  dihmeetlem20N  37129  dihmeetALTN  37130
  Copyright terms: Public domain W3C validator