MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latlem12 17300
Description: An element is less than or equal to a meet iff the element is less than or equal to each argument of the meet. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latlem12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latlem12
StepHypRef Expression
1 latmle.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . 2 = (le‘𝐾)
3 latmle.m . 2 = (meet‘𝐾)
4 latpos 17272 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
54adantr 472 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Poset)
6 simpr2 1236 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 simpr3 1238 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
8 simpr1 1234 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
9 eqid 2761 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10 simpl 474 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
111, 9, 3, 10, 6, 7latcl2 17270 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom (join‘𝐾) ∧ ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom ))
1211simprd 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ⟨𝑌, 𝑍⟩ ∈ dom )
131, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 12meetle 17250 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑋 𝑍) ↔ 𝑋 (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  cop 4328   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  Posetcpo 17162  joincjn 17166  meetcmee 17167  Latclat 17267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-poset 17168  df-glb 17197  df-meet 17199  df-lat 17268
This theorem is referenced by:  latleeqm1  17301  latmlem1  17303  latmidm  17308  latledi  17311  mod1ile  17327  oldmm1  35026  olm01  35045  cmtbr4N  35064  atnle  35126  atlatmstc  35128  hlrelat2  35211  cvrval5  35223  cvrexchlem  35227  2atjm  35253  atbtwn  35254  ps-2b  35290  2atm  35335  2llnm4  35378  2llnmeqat  35379  dalemcea  35468  dalem21  35502  dalem54  35534  dalem55  35535  dalem57  35537  2atm2atN  35593  2llnma1b  35594  cdlemblem  35601  dalawlem2  35680  dalawlem3  35681  dalawlem6  35684  dalawlem11  35689  dalawlem12  35690  lhpocnle  35824  lhpmcvr4N  35834  lhpat3  35854  4atexlemcnd  35880  lautm  35902  trlval3  35996  cdlemc5  36004  cdleme3  36046  cdleme7ga  36057  cdleme7  36058  cdleme11k  36077  cdleme16e  36091  cdleme16f  36092  cdlemednpq  36108  cdleme22aa  36148  cdleme22b  36150  cdleme22cN  36151  cdleme23c  36160  cdlemeg46req  36338  cdlemf2  36371  cdlemg10c  36448  cdlemg12f  36457  cdlemg17dALTN  36473  cdlemg19a  36492  cdlemg27b  36505  cdlemi  36629  cdlemk15  36664  cdlemk50  36761  dia2dimlem1  36874  dihopelvalcpre  37058  dihord5b  37069  dihmeetlem1N  37100  dihglblem5apreN  37101  dihglblem2N  37104  dihmeetlem3N  37115
  Copyright terms: Public domain W3C validator