Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latdisd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latdisd 17398
 Description: In a lattice, joins distribute over meets if and only if meets distribute over joins; the distributive property is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latdisd.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latdisd.j = (join‘𝐾)
latdisd.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latdisd (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐾   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧

Proof of Theorem latdisd
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 latdisd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latdisd.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 latdisd.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
41, 2, 3latdisdlem 17397 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) → ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))))
5 eqid 2771 . . . . 5 (ODual‘𝐾) = (ODual‘𝐾)
65odulat 17353 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → (ODual‘𝐾) ∈ Lat)
75, 1odubas 17341 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(ODual‘𝐾))
85, 3odujoin 17350 . . . . 5 = (join‘(ODual‘𝐾))
95, 2odumeet 17348 . . . . 5 = (meet‘(ODual‘𝐾))
107, 8, 9latdisdlem 17397 . . . 4 ((ODual‘𝐾) ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
116, 10syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
124, 11impbid 202 . 2 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) ↔ ∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤))))
13 oveq1 6800 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 (𝑣 𝑤)) = (𝑥 (𝑣 𝑤)))
14 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑣) = (𝑥 𝑣))
15 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 𝑤) = (𝑥 𝑤))
1614, 15oveq12d 6811 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) = ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤)))
1713, 16eqeq12d 2786 . . 3 (𝑢 = 𝑥 → ((𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ (𝑥 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤))))
18 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 𝑤) = (𝑦 𝑤))
1918oveq2d 6809 . . . 4 (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 (𝑣 𝑤)) = (𝑥 (𝑦 𝑤)))
20 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑣 = 𝑦 → (𝑥 𝑣) = (𝑥 𝑦))
2120oveq1d 6808 . . . 4 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)))
2219, 21eqeq12d 2786 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑥 (𝑣 𝑤)) = ((𝑥 𝑣) (𝑥 𝑤)) ↔ (𝑥 (𝑦 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤))))
23 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 𝑤) = (𝑦 𝑧))
2423oveq2d 6809 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 (𝑦 𝑤)) = (𝑥 (𝑦 𝑧)))
25 oveq2 6801 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 𝑤) = (𝑥 𝑧))
2625oveq2d 6809 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
2724, 26eqeq12d 2786 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥 (𝑦 𝑤)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑤)) ↔ (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
2817, 22, 27cbvral3v 3330 . 2 (∀𝑢𝐵𝑣𝐵𝑤𝐵 (𝑢 (𝑣 𝑤)) = ((𝑢 𝑣) (𝑢 𝑤)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)))
2912, 28syl6bb 276 1 (𝐾 ∈ Lat → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧𝐵 (𝑥 (𝑦 𝑧)) = ((𝑥 𝑦) (𝑥 𝑧))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  joincjn 17152  meetcmee 17153  Latclat 17253  ODualcodu 17336 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-dec 11696  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ple 16169  df-preset 17136  df-poset 17154  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-lat 17254  df-odu 17337 This theorem is referenced by:  odudlatb  17404
 Copyright terms: Public domain W3C validator