Theorem l1cvpat 34862

Description: A subspace covered by the set of all vectors, when summed with an atom not under it, equals the set of all vectors. (1cvrjat 35282 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
l1cvpat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
l1cvpat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
l1cvpat.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
l1cvpat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
l1cvpat.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
l1cvpat.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
l1cvpat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
l1cvpat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
l1cvpat.l	⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
l1cvpat.m	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
l1cvpat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Proof of Theorem l1cvpat

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		l1cvpat.q	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
2		l1cvpat.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		l1cvpat.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		l1cvpat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	islsat 34799	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
8	2, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
9	1, 8	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}))
10		l1cvpat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ⊆ 𝑈)
11		eldifi 3875	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → 𝑣 ∈ 𝑉)
12		l1cvpat.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
13		lveclmod 19328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
15	14	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LMod)
16		l1cvpat.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
17	16	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
18		simp2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑣 ∈ 𝑉)
19	3, 12, 4, 15, 17, 18	lspsnel5 19217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
20	19	notbid 307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
21		l1cvpat.p	. . . . . . . . 9 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑊) = (LSHyp‘𝑊)
23	2	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑊 ∈ LVec)
24		l1cvpat.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝐶𝑉)
25		l1cvpat.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = ( ⋖L ‘𝑊)
26	3, 12, 22, 25, 2	islshpcv 34861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊) ↔ (𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑈𝐶𝑉)))
27	16, 24, 26	mpbir2and 995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
28	27	3ad2ant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → 𝑈 ∈ (LSHyp‘𝑊))
29	3, 4, 21, 22, 23, 28, 18	lshpnelb 34792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
30	29	biimpd 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑣 ∈ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
31	20, 30	sylbird 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
32		sseq1 3767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
33	32	notbid 307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 ↔ ¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈))
34		oveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (𝑈 ⊕ 𝑄) = (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})))
35	34	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉 ↔ (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉))
36	33, 35	imbi12d 333	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
37	36	3ad2ant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → ((¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉) ↔ (¬ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) = 𝑉)))
38	31, 37	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣})) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))
39	38	3exp 1113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝑉 → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
40	11, 39	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)}) → (𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉))))
41	40	rexlimdv 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑊)})𝑄 = ((LSpan‘𝑊)‘{𝑣}) → (¬ 𝑄 ⊆ 𝑈 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)))
42	9, 10, 41	mp2d 49	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ 𝑄) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  0_gc0g 16322  LSSumclsm 18269  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LSpanclspn 19193  LVecclvec 19324  LSAtomsclsa 34782  LSHypclsh 34783   ⋖_L clcv 34826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lcv 34827

This theorem is referenced by:  l1cvat  34863