MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kqf 21771
Description: The Kolmogorov quotient is a topology on the quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
kqf KQ:Top⟶Kol2

Proof of Theorem kqf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6823 . . 3 (𝑗 qTop (𝑥 𝑗 ↦ {𝑦𝑗𝑥𝑦})) ∈ V
2 df-kq 21718 . . 3 KQ = (𝑗 ∈ Top ↦ (𝑗 qTop (𝑥 𝑗 ↦ {𝑦𝑗𝑥𝑦})))
31, 2fnmpti 6162 . 2 KQ Fn Top
4 kqt0 21770 . . . 4 (𝑥 ∈ Top ↔ (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
54biimpi 206 . . 3 (𝑥 ∈ Top → (KQ‘𝑥) ∈ Kol2)
65rgen 3071 . 2 𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2
7 ffnfv 6530 . 2 (KQ:Top⟶Kol2 ↔ (KQ Fn Top ∧ ∀𝑥 ∈ Top (KQ‘𝑥) ∈ Kol2))
83, 6, 7mpbir2an 690 1 KQ:Top⟶Kol2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065   cuni 4574  cmpt 4863   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793   qTop cqtop 16371  Topctop 20918  Kol2ct0 21331  KQckq 21717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-qtop 16375  df-top 20919  df-topon 20936  df-t0 21338  df-kq 21718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator