MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsbergiedgw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsbergiedgw 27226
Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsbergiedgw 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw
StepHypRef Expression
1 3nn0 11348 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 12475 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ (0...3)
4 1nn0 11346 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
5 1le3 11282 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6 elfz2nn0 12469 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
74, 1, 5, 6mpbir3an 1263 . . . . . 6 1 ∈ (0...3)
8 0ne1 11126 . . . . . 6 0 ≠ 1
93, 7, 8umgrbi 26041 . . . . 5 {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
11 2nn0 11347 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
12 2re 11128 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
13 3re 11132 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
14 2lt3 11233 . . . . . . . 8 2 < 3
1512, 13, 14ltleii 10198 . . . . . . 7 2 ≤ 3
16 elfz2nn0 12469 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
1711, 1, 15, 16mpbir3an 1263 . . . . . 6 2 ∈ (0...3)
18 0ne2 11277 . . . . . 6 0 ≠ 2
193, 17, 18umgrbi 26041 . . . . 5 {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
21 nn0fz0 12476 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
221, 21mpbi 220 . . . . . 6 3 ∈ (0...3)
23 3ne0 11153 . . . . . . 7 3 ≠ 0
2423necomi 2877 . . . . . 6 0 ≠ 3
253, 22, 24umgrbi 26041 . . . . 5 {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2625a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
27 1ne2 11278 . . . . . 6 1 ≠ 2
287, 17, 27umgrbi 26041 . . . . 5 {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
2928a1i 11 . . . 4 (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3012, 14ltneii 10188 . . . . . 6 2 ≠ 3
3117, 22, 30umgrbi 26041 . . . . 5 {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
3231a1i 11 . . . 4 (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3310, 20, 26, 29, 29, 32, 32s7cld 13667 . . 3 (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3433trud 1533 . 2 ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
35 konigsberg.e . 2 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
3736pweqi 4195 . . . 4 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38 rabeq 3223 . . . 4 (𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
3937, 38ax-mp 5 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4039wrdeqi 13360 . 2 Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4134, 35, 403eltr4i 2743 1 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  {crab 2945  𝒫 cpw 4191  {cpr 4212  cop 4216   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs7 13637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-s4 13641  df-s5 13642  df-s6 13643  df-s7 13644
This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  27227  konigsbergumgr  27229
  Copyright terms: Public domain W3C validator