Theorem konigsbergiedgw 27226

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgw	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11348	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 12475	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 11346	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 11282	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 12469	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1263	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 11126	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbi 26041	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
11		2nn0 11347	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 11128	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 11132	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 11233	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 10198	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 12469	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1263	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 11277	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbi 26041	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
21		nn0fz0 12476	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 11153	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2877	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbi 26041	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
27		1ne2 11278	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbi 26041	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
30	12, 14	ltneii 10188	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbi 26041	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 13667	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
34	33	trud 1533	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 4195	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38		rabeq 3223	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2})
39	37, 38	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
40	39	wrdeqi 13360	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (#‘𝑥) = 2}
41	34, 35, 40	3eltr4i 2743	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}

Syntax hints:   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  {crab 2945  𝒫 cpw 4191  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  ℕ₀cn0 11330  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs7 13637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-s4 13641  df-s5 13642  df-s6 13643  df-s7 13644

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  27227  konigsbergumgr  27229