Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem9 32817
Description: Lemma for knoppndv 32831. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem9.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem9.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem9.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem9.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem9.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem9.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem9.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem9.1 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem9 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem9
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem9.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem9.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem9.a . . 3 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4 knoppndvlem9.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5 knoppndvlem9.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 knoppndvlem9.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 32815 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8 knoppndvlem9.1 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑀)
9 odd2np1 15267 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
105, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀))
118, 10mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)
12 eqcom 2767 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1312biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀𝑀 = ((2 · 𝑚) + 1))
1413oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1514adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
1615adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑚) + 1) / 2))
17 2cnd 11285 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
18 zcn 11574 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℂ)
1918adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℂ)
2017, 19mulcld 10252 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (2 · 𝑚) ∈ ℂ)
21 1cnd 10248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
22 2ne0 11305 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
2420, 21, 17, 23divdird 11031 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)))
2519, 17, 23divcan3d 10998 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑚) / 2) = 𝑚)
2625oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) / 2) + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
2724, 26eqtrd 2794 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2827adantrr 755 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (((2 · 𝑚) + 1) / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
2916, 28eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑀 / 2) = (𝑚 + (1 / 2)))
3029fveq2d 6356 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))))
31 id 22 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℤ)
321, 31dnizphlfeqhlf 32772 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3332adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3433adantrr 755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑚 + (1 / 2))) = (1 / 2))
3530, 34eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑚) + 1) = 𝑀)) → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3611, 35rexlimddv 3173 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = (1 / 2))
3736oveq2d 6829 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶𝐽) · (1 / 2)))
38 knoppndvlem9.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3938knoppndvlem3 32811 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
4039simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4140recnd 10260 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241, 4expcld 13202 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
43 1cnd 10248 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
44 2cnd 11285 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
4522a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ≠ 0)
4642, 43, 44, 45div12d 11029 . . 3 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = (1 · ((𝐶𝐽) / 2)))
4742, 44, 45divcld 10993 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
4847mulid2d 10250 . . 3 (𝜑 → (1 · ((𝐶𝐽) / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
4946, 48eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (1 / 2)) = ((𝐶𝐽) / 2))
507, 37, 493eqtrd 2798 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  (,)cioo 12368  cfl 12785  cexp 13054  abscabs 14173  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  32818
  Copyright terms: Public domain W3C validator