Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem8 32847
 Description: Lemma for knoppndv 32862. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem8.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem8.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem8.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem8.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem8.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem8.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem8.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem8.1 (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem8 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppndvlem8
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem8.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem8.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem8.a . . 3 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
4 knoppndvlem8.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5 knoppndvlem8.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
6 knoppndvlem8.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
71, 2, 3, 4, 5, 6knoppndvlem7 32846 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))))
8 knoppndvlem8.1 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∥ 𝑀)
9 2z 11616 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
11 2ne0 11319 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
1310, 12, 53jca 1122 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
14 dvdsval2 15192 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
168, 15mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
171, 16dnizeq0 32802 . . 3 (𝜑 → (𝑇‘(𝑀 / 2)) = 0)
1817oveq2d 6812 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · (𝑇‘(𝑀 / 2))) = ((𝐶𝐽) · 0))
19 knoppndvlem8.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2019knoppndvlem3 32842 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2120simpld 482 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2221recnd 10274 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2322, 4expcld 13215 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
2423mul01d 10441 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐽) · 0) = 0)
257, 18, 243eqtrd 2809 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147   < clt 10280   − cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  ℕcn 11226  2c2 11276  ℕ0cn0 11499  ℤcz 11584  (,)cioo 12380  ⌊cfl 12799  ↑cexp 13067  abscabs 14182   ∥ cdvds 15189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190 This theorem is referenced by:  knoppndvlem10  32849
 Copyright terms: Public domain W3C validator