Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem6 32814
 Description: Lemma for knoppndv 32831. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem6.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem6.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem6.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem6.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem6.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem6.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem6.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑤)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem6
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem6.w . . . . 5 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖)))
3 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝐴))
43fveq1d 6354 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → ((𝐹𝑤)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
54sumeq2sdv 14634 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
65adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
7 knoppndvlem6.a . . . . . 6 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
9 knoppndvlem6.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
10 knoppndvlem6.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
1110nn0zd 11672 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
12 knoppndvlem6.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
139, 11, 12knoppndvlem1 32809 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
148, 13eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
15 sumex 14617 . . . . 5 Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ V)
172, 6, 14, 16fvmptd 6450 . . 3 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖))
18 nn0uz 11915 . . . 4 0 = (ℤ‘0)
19 eqid 2760 . . . 4 (ℤ‘(𝐽 + 1)) = (ℤ‘(𝐽 + 1))
20 peano2nn0 11525 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
2110, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ0)
22 eqidd 2761 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝑖))
23 knoppndvlem6.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
24 knoppndvlem6.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
259adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
26 knoppndvlem6.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
2726knoppndvlem3 32811 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2827simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2928adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
3014adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
31 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3223, 24, 25, 29, 30, 31knoppcnlem3 32791 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
3332recnd 10260 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
3423, 24, 1, 14, 26, 9knoppndvlem4 32812 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
35 seqex 12997 . . . . . 6 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
36 fvex 6362 . . . . . 6 (𝑊𝐴) ∈ V
3735, 36breldm 5484 . . . . 5 (seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴) → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3834, 37syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
3918, 19, 21, 22, 33, 38isumsplit 14771 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4010nn0cnd 11545 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
41 1cnd 10248 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4240, 41pncand 10585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽 + 1) − 1) = 𝐽)
4342oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (0...((𝐽 + 1) − 1)) = (0...𝐽))
4443sumeq1d 14630 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
4544oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...((𝐽 + 1) − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4617, 39, 453eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))
4714adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
48 eluznn0 11950 . . . . . . . . 9 (((𝐽 + 1) ∈ ℕ0𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4921, 48sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
5024, 47, 49knoppcnlem1 32789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))))
517a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
5251oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
539adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5449nn0zd 11672 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
5511adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
5612adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
57 eluzle 11892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1)) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5857adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 + 1) ≤ 𝑖)
5955, 54jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
60 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐽 < 𝑖 ↔ (𝐽 + 1) ≤ 𝑖))
6258, 61mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑖)
6353, 54, 55, 56, 62knoppndvlem2 32810 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
6452, 63eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴) ∈ ℤ)
6523, 64dnizeq0 32771 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴)) = 0)
6665oveq2d 6829 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑖) · 𝐴))) = ((𝐶𝑖) · 0))
6728recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6867adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6968, 49expcld 13202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
7069mul01d 10427 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐶𝑖) · 0) = 0)
7150, 66, 703eqtrd 2798 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7271sumeq2dv 14632 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0)
73 ssid 3765 . . . . . . . 8 (ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1))
7473a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)))
7574orcd 406 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin))
76 sumz 14652 . . . . . 6 (((ℤ‘(𝐽 + 1)) ⊆ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∨ (ℤ‘(𝐽 + 1)) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7775, 76syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))0 = 0)
7872, 77eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) = 0)
7978oveq2d 6829 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0))
8023, 24, 14, 28, 9knoppndvlem5 32813 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
8180recnd 10260 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
8281addid1d 10428 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + 0) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8379, 82eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) + Σ𝑖 ∈ (ℤ‘(𝐽 + 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
8446, 83eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  ⌊cfl 12785  seqcseq 12995  ↑cexp 13054  abscabs 14173   ⇝ cli 14414  Σcsu 14615 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ulm 24330 This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  32823
 Copyright terms: Public domain W3C validator