Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem4 32843
Description: Lemma for knoppndv 32862. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem4.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem4.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppndvlem4.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem4 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑖,𝑤
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑤,𝑖)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem4
Dummy variables 𝑘 𝑣 𝑚 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11924 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11591 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 knoppndvlem4.t . . 3 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
4 knoppndvlem4.f . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
5 knoppndvlem4.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
6 knoppndvlem4.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
76knoppndvlem3 32842 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
87simpld 482 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
93, 4, 5, 8knoppcnlem8 32827 . 2 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 ℝ))
10 knoppndvlem4.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
11 seqex 13010 . . 3 seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ∈ V)
135adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
148adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
163, 4, 13, 14, 15knoppcnlem7 32826 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
1716fveq1d 6334 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴))
18 eqid 2771 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))
1918a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)) = (𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘)))
20 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝐴 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝐴))
2120seqeq3d 13016 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝐴 → seq0( + , (𝐹𝑣)) = seq0( + , (𝐹𝐴)))
2221fveq1d 6334 . . . . . 6 (𝑣 = 𝐴 → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2322adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑣 = 𝐴) → (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
24 fvexd 6344 . . . . 5 (𝜑 → (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘) ∈ V)
2519, 23, 10, 24fvmptd 6430 . . . 4 (𝜑 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2625adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑣))‘𝑘))‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
2717, 26eqtrd 2805 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)‘𝐴) = (seq0( + , (𝐹𝐴))‘𝑘))
28 knoppndvlem4.w . . 3 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
297simprd 483 . . 3 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
303, 4, 28, 5, 8, 29knoppcnlem9 32828 . 2 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))(⇝𝑢‘ℝ)𝑊)
311, 2, 9, 10, 12, 27, 30ulmclm 24361 1 (𝜑 → seq0( + , (𝐹𝐴)) ⇝ (𝑊𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  (,)cioo 12380  cfl 12799  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14182  cli 14423  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ulm 24351
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32845  knoppf  32863
  Copyright terms: Public domain W3C validator