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Theorem knoppndvlem21 32498
Description: Lemma for knoppndv 32500. (Contributed by Asger C. Ipsen, 18-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem21.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem21.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem21.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem21.g 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
knoppndvlem21.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem21.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem21.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem21.h (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
knoppndvlem21.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem21.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem21.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
knoppndvlem21.2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
knoppndvlem21.3 (𝜑𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem21 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑎,𝑏   𝐸,𝑎,𝑏   𝑖,𝐹,𝑤   𝐻,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎,𝑏   𝑖,𝐽,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐽,𝑖,𝑤   𝑁,𝑎,𝑏   𝑖,𝑁,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝑊,𝑎,𝑏   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑥,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖,𝑎,𝑏)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem21
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)
2 eqid 2620 . . 3 ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))
3 knoppndvlem21.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
4 knoppndvlem21.h . . 3 (𝜑𝐻 ∈ ℝ)
5 knoppndvlem21.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
61, 2, 3, 4, 5knoppndvlem19 32496 . 2 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
7 2re 11075 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
95nnred 11020 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
108, 9remulcld 10055 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
11 2pos 11097 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
135nngt0d 11049 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
148, 9, 12, 13mulgt0d 10177 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1514gt0ne0d 10577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
163nn0zd 11465 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
1716znegcld 11469 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
1810, 15, 17reexpclzd 13017 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
1918rehalfcld 11264 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
21 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
2221zred 11467 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℝ)
2320, 22remulcld 10055 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
2423adantrr 752 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ)
25 peano2re 10194 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
2622, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
2720, 26jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ))
28 remulcl 10006 . . . . . 6 (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℝ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
3029adantrr 752 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ)
31 simprr 795 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
323adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
335adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
341, 2, 32, 21, 33knoppndvlem16 32493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
35 knoppndvlem21.2 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
3635adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) < 𝐷)
3734, 36eqbrtrd 4666 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷)
3810, 17, 143jca 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)))
39 expgt0 12876 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ -𝐽 ∈ ℤ ∧ 0 < (2 · 𝑁)) → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝑁)↑-𝐽))
4118, 8, 40, 12divgt0d 10944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
4241adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2))
4334eqcomd 2626 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
4442, 43breqtrd 4670 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
4523, 29posdifd 10599 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ↔ 0 < (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
4644, 45mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) < ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
4723, 46ltned 10158 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))
4837, 47jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
4948adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
50 knoppndvlem21.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
5150rpred 11857 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
5251adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ∈ ℝ)
53 knoppndvlem21.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
5453knoppndvlem3 32480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
5554simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5655recnd 10053 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
5756abscld 14156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
5810, 57remulcld 10055 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
5958, 3reexpcld 13008 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) ∈ ℝ)
60 knoppndvlem21.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
6160a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
62 knoppndvlem21.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
6353, 5, 62knoppndvlem20 32497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ+)
6463rpred 11857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6561, 64eqeltrd 2699 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
6659, 65remulcld 10055 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
6766adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ∈ ℝ)
68 knoppndvlem21.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
69 knoppndvlem21.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
70 knoppndvlem21.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
7155adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℝ)
7254simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
7372adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘𝐶) < 1)
7468, 69, 70, 29, 33, 71, 73knoppcld 32470 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
7568, 69, 70, 23, 33, 71, 73knoppcld 32470 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℂ)
7674, 75subcld 10377 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℂ)
7776abscld 14156 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ∈ ℝ)
7834, 20eqeltrd 2699 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ∈ ℝ)
7944gt0ne0d 10577 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) ≠ 0)
8077, 78, 79redivcld 10838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ∈ ℝ)
81 knoppndvlem21.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
8281adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺))
8360oveq2i 6646 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
8483a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) = ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
8553adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
8662adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
8768, 69, 70, 1, 2, 85, 32, 21, 33, 86knoppndvlem17 32494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
8884, 87eqbrtrd 4666 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝐽) · 𝐺) ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
8952, 67, 80, 82, 88letrd 10179 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
9089adantrr 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
9131, 49, 903jca 1240 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
9224, 30, 913jca 1240 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
93 breq1 4647 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎𝐻 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻))
9493anbi1d 740 . . . . 5 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏)))
95 oveq2 6643 . . . . . . 7 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑏𝑎) = (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
9695breq1d 4654 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑏𝑎) < 𝐷 ↔ (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
97 neeq1 2853 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑎𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏))
9896, 97anbi12d 746 . . . . 5 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ↔ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏)))
99 fveq2 6178 . . . . . . . . 9 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝑊𝑎) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
10099oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎)) = ((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
101100fveq2d 6182 . . . . . . 7 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) = (abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
102101, 95oveq12d 6653 . . . . . 6 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎)) = ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
103102breq2d 4656 . . . . 5 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎)) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
10494, 98, 1033anbi123d 1397 . . . 4 (𝑎 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) → (((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
105 breq2 4648 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐻𝑏𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
106105anbi2d 739 . . . . 5 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏) ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
107 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) = (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))
108107breq1d 4654 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ↔ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷))
109 neeq2 2854 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏 ↔ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
110108, 109anbi12d 746 . . . . 5 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)))))
111 fveq2 6178 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝑊𝑏) = (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))
112111oveq1d 6650 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
113112fveq2d 6182 . . . . . . 7 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) = (abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
114113, 107oveq12d 6653 . . . . . 6 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) = ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))
115114breq2d 4656 . . . . 5 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))) ↔ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))))
116106, 110, 1153anbi123d 1397 . . . 4 (𝑏 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) → (((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ 𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (𝑏 − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) ↔ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))))
117104, 116rspc2ev 3319 . . 3 ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ∈ ℝ ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ ((((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)) < 𝐷 ∧ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≠ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))) − (𝑊‘((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚)))) / (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1)) − ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
11892, 117syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ (((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑚) ≤ 𝐻𝐻 ≤ ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑚 + 1))))) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
1196, 118rexlimddv 3031 1 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ ((𝑎𝐻𝐻𝑏) ∧ ((𝑏𝑎) < 𝐷𝑎𝑏) ∧ 𝐸 ≤ ((abs‘((𝑊𝑏) − (𝑊𝑎))) / (𝑏𝑎))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  +crp 11817  (,)cioo 12160  cfl 12574  cexp 12843  abscabs 13955  Σcsu 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-dvds 14965  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-ulm 24112
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