Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem2 32810
Description: Lemma for knoppndv 32831. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem2.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem2.1 (𝜑𝐽 < 𝐼)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)

Proof of Theorem knoppndvlem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 11285 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2 knoppndvlem2.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 nnz 11591 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11675 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
61, 5mulcld 10252 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7 2ne0 11305 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9 0red 10233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10 1red 10247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
114zred 11674 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
12 0lt1 10742 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
14 nnge1 11238 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
152, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
169, 10, 11, 13, 15ltletrd 10389 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < 𝑁)
179, 16ltned 10365 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
1817necomd 2987 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ≠ 0)
191, 5, 8, 18mulne0d 10871 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
20 knoppndvlem2.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
216, 19, 20expclzd 13207 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝐼) ∈ ℂ)
22 knoppndvlem2.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322znegcld 11676 . . . . . . 7 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
246, 19, 23expclzd 13207 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℂ)
2524, 1, 8divcld 10993 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℂ)
26 knoppndvlem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2726zcnd 11675 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
2821, 25, 27mulassd 10255 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)))
2928eqcomd 2766 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀))
3021, 24, 1, 8divassd 11028 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)))
3130eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2))
326, 19jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0))
3320, 23jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ))
3432, 33jca 555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)))
35 expaddz 13098 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑁) ≠ 0) ∧ (𝐼 ∈ ℤ ∧ -𝐽 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)))
3736eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)))
3820zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
3922zcnd 11675 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
4038, 39negsubd 10590 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 + -𝐽) = (𝐼𝐽))
4140oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼 + -𝐽)) = ((2 · 𝑁)↑(𝐼𝐽)))
42 knoppndvlem2.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 < 𝐼)
4322, 20jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ))
44 znnsub 11615 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼𝐽) ∈ ℕ))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ (𝐼𝐽) ∈ ℕ))
4642, 45mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ ℕ)
476, 46jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℕ))
48 expm1t 13082 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑(𝐼𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑(𝐼𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
5037, 41, 493eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)))
5150oveq1d 6828 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((2 · 𝑁)↑-𝐽)) / 2) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2))
5220, 22jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
53 zsubcl 11611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼𝐽) ∈ ℤ)
55 peano2zm 11612 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝐽) ∈ ℤ → ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ)
5722zred 11674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
5820zred 11674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
5957, 58posdifd 10806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐽 < 𝐼 ↔ 0 < (𝐼𝐽)))
6042, 59mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐼𝐽))
61 0zd 11581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
6261, 54jca 555 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ))
63 zltlem1 11622 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐽) ∈ ℤ) → (0 < (𝐼𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < (𝐼𝐽) ↔ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
6560, 64mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1))
6656, 65jca 555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
67 elnn0z 11582 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝐼𝐽) − 1)))
6866, 67sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0)
696, 68expcld 13202 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) ∈ ℂ)
7069, 6, 1, 8divassd 11028 . . . . . 6 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)))
715, 1, 8divcan3d 10998 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
7271oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · ((2 · 𝑁) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁))
7370, 72eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · (2 · 𝑁)) / 2) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁))
7431, 51, 733eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) = (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁))
7574oveq1d 6828 . . 3 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝐼) · (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2)) · 𝑀) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
7629, 75eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) = ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀))
77 2z 11601 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
7877a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
7978, 4jca 555 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
80 zmulcl 11618 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
8281, 68jca 555 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0))
83 zexpcl 13069 . . . . 5 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ ((𝐼𝐽) − 1) ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
8482, 83syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) ∈ ℤ)
8584, 4zmulcld 11680 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) ∈ ℤ)
8685, 26zmulcld 11680 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑((𝐼𝐽) − 1)) · 𝑁) · 𝑀) ∈ ℤ)
8776, 86eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝐼) · ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cexp 13054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-exp 13055
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32814
  Copyright terms: Public domain W3C validator