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Theorem knoppndvlem18 32847
Description: Lemma for knoppndv 32852. (Contributed by Asger C. Ipsen, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem18.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem18.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem18.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
knoppndvlem18.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem18 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑗   𝐷,𝑗   𝑗,𝐸   𝑗,𝐺   𝑗,𝑁   𝜑,𝑗

Proof of Theorem knoppndvlem18
StepHypRef Expression
1 2re 11302 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem18.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43nnred 11247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
52, 4remulcld 10282 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
76recnd 10280 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
8 2pos 11324 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
103nngt0d 11276 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝑁)
112, 4, 9, 10mulgt0d 10404 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (2 · 𝑁))
1211gt0ne0d 10804 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
1312adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ≠ 0)
14 nnz 11611 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℤ)
1514adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℤ)
167, 13, 15expnegd 13229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
1716adantrr 755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) = (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)))
18 2rp 12050 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ+
1918a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
20 knoppndvlem18.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
2119, 20jca 555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+))
22 rpmulcl 12068 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
2423adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (2 · 𝐷) ∈ ℝ+)
255, 11elrpd 12082 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2625adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
2726, 15rpexpcld 13246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ+)
2827adantrr 755 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ+)
2924rprecred 12096 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
30 knoppndvlem18.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
3130knoppndvlem3 32832 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
3231simpld 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3332recnd 10280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3433abscld 14394 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
355, 34remulcld 10282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
3635adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
37 nnnn0 11511 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38reexpcld 13239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
4039adantrr 755 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ∈ ℝ)
4128rpred 12085 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
42 knoppndvlem18.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
4342rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
44 knoppndvlem18.g . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
4544rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝ)
4644rpne0d 12090 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ≠ 0)
4743, 45, 46redivcld 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
4823rprecred 12096 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ)
4947, 48ifcld 4275 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
5049adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ)
5148, 47jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ))
52 max1 12229 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
5453adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
55 simprr 813 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
5629, 50, 40, 54, 55lelttrd 10407 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
5734recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
597, 58, 38mulexpd 13237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) = (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)))
6034adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6160, 38reexpcld 13239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ∈ ℝ)
62 1red 10267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
6327rpred 12085 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℝ)
6427rpge0d 12089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
6533absge0d 14402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
66 1red 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6731simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐶) < 1)
6834, 66, 67ltled 10397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐶) ≤ 1)
6934, 65, 683jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
7069adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1))
7170, 38jca 555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0))
72 exple1 13134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐶) ∧ (abs‘𝐶) ≤ 1) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((abs‘𝐶)↑𝑗) ≤ 1)
7461, 62, 63, 64, 73lemul2ad 11176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1))
7563recnd 10280 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑𝑗) ∈ ℂ)
7675mulid1d 10269 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · 1) = ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7774, 76breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁)↑𝑗) · ((abs‘𝐶)↑𝑗)) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7859, 77eqbrtrd 4826 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
7978adantrr 755 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ≤ ((2 · 𝑁)↑𝑗))
8029, 40, 41, 56, 79ltletrd 10409 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / (2 · 𝐷)) < ((2 · 𝑁)↑𝑗))
8124, 28, 80ltrec1d 12105 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (1 / ((2 · 𝑁)↑𝑗)) < (2 · 𝐷))
8217, 81eqbrtrd 4826 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷))
83 nnnegz 11592 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ℕ → -𝑗 ∈ ℤ)
8483adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → -𝑗 ∈ ℤ)
856, 13, 84reexpclzd 13248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁)↑-𝑗) ∈ ℝ)
8620rpred 12085 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
8786adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ ℝ)
8818a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
8985, 87, 88ltdivmuld 12136 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
9089adantrr 755 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷 ↔ ((2 · 𝑁)↑-𝑗) < (2 · 𝐷)))
9182, 90mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷)
9247adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ)
93 max2 12231 . . . . . . . 8 (((1 / (2 · 𝐷)) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝐺) ∈ ℝ) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9451, 93syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9594adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))))
9650, 40, 55ltled 10397 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
9792, 50, 40, 95, 96letrd 10406 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → (𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
9843adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ∈ ℝ)
9944adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
10098, 40, 99ledivmul2d 12139 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((𝐸 / 𝐺) ≤ (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) ↔ 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
10197, 100mpbid 222 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → 𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))
10291, 101jca 555 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))) → ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
103 1t1e1 11387 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
104103eqcomi 2769 . . . . . . . 8 1 = (1 · 1)
105104a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 = (1 · 1))
1064, 34remulcld 10282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
107 0le1 10763 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
108107a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 1)
109 1lt2 11406 . . . . . . . . 9 1 < 2
110109a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < 2)
111 knoppndvlem18.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
11266, 2, 66, 106, 108, 110, 108, 111ltmul12ad 11177 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
113105, 112eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
1142recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
1154recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
116114, 115, 57mulassd 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
117116eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
118113, 117breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
11949, 35, 1183jca 1123 . . . 4 (𝜑 → (if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
120 expnbnd 13207 . . . 4 ((if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
121119, 120syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ if((1 / (2 · 𝐷)) ≤ (𝐸 / 𝐺), (𝐸 / 𝐺), (1 / (2 · 𝐷))) < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗))
122102, 121reximddv 3156 . 2 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
123 nnssnn0 11507 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
124 ssrexv 3808 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺))))
125123, 124ax-mp 5 . 2 (∃𝑗 ∈ ℕ ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
126122, 125syl 17 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ ℕ0 ((((2 · 𝑁)↑-𝑗) / 2) < 𝐷𝐸 ≤ ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))↑𝑗) · 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287  -cneg 10479   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  +crp 12045  (,)cioo 12388  cexp 13074  abscabs 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195
This theorem is referenced by:  knoppndvlem22  32851
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