Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem15 32823
Description: Lemma for knoppndv 32831. (Contributed by Asger C. Ipsen, 6-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem15.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem15.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem15.w 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
knoppndvlem15.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem15.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem15.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem15.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem15.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem15.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem15.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem15 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑖,𝑤   𝐵,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑖,𝑛,𝑦   𝑖,𝐹,𝑤   𝑖,𝐽,𝑛,𝑦   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑖,𝑁,𝑛,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑖,𝑛,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑥,𝑤,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑤)   𝑀(𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑤,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem knoppndvlem15
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem15.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
21knoppndvlem3 32811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
32simpld 477 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
54abscld 14374 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
6 knoppndvlem15.j . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
75, 6reexpcld 13219 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝐽) ∈ ℝ)
8 2re 11282 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
10 2ne0 11305 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
127, 9, 11redivcld 11045 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ)
13 1red 10247 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 knoppndvlem15.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 11227 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
169, 15remulcld 10262 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1716, 5remulcld 10262 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
1817, 13resubcld 10650 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ)
19 0red 10233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
20 0lt1 10742 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
2120a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
22 knoppndvlem15.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 14, 22knoppndvlem12 32820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
2423simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2519, 13, 18, 21, 24lttrd 10390 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
2618, 25jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
27 gt0ne0 10685 . . . . . . . 8 (((((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1) ≠ 0)
2913, 18, 28redivcld 11045 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ)
3013, 29resubcld 10650 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
3112, 30remulcld 10262 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
32 knoppndvlem15.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
33 knoppndvlem15.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
34 knoppndvlem15.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
366nn0zd 11672 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
37 knoppndvlem15.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3814, 36, 37knoppndvlem1 32809 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
3935, 38eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4032, 33, 14, 3, 39, 6knoppcnlem3 32791 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
42 knoppndvlem15.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4342a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
4437peano2zd 11677 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
4514, 36, 44knoppndvlem1 32809 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
4643, 45eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4732, 33, 14, 3, 46, 6knoppcnlem3 32791 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4847recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4941, 48subcld 10584 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) ∈ ℂ)
5049abscld 14374 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) ∈ ℝ)
5132, 33, 46, 3, 14knoppndvlem5 32813 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
5251recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
5332, 33, 39, 3, 14knoppndvlem5 32813 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
5453recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
5552, 54subcld 10584 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) ∈ ℂ)
5655abscld 14374 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℝ)
5750, 56resubcld 10650 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
5849, 55subcld 10584 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ∈ ℂ)
5958abscld 14374 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ∈ ℝ)
6012, 29jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ))
61 remulcl 10213 . . . . . . . 8 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6260, 61syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
6312, 62jca 555 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ))
64 resubcl 10537 . . . . . 6 (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ) → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ∈ ℝ)
6612recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ∈ ℂ)
67 1cnd 10248 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6829recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)) ∈ ℂ)
6966, 67, 68subdid 10678 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7066mulid1d 10249 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7170oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) = ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7265leidd 10786 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7371, 72eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (𝜑 → (((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · 1) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7469, 73eqbrtrd 4826 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))))
7512, 29remulcld 10262 . . . . . 6 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))) ∈ ℝ)
7612leidd 10786 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7741, 48abssubd 14391 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
7832, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14knoppndvlem10 32818 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7977, 78eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
8079eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8176, 80breqtrd 4830 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) ≤ (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
8232, 33, 34, 42, 1, 6, 37, 14, 22knoppndvlem14 32822 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖))) ≤ ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))))
8312, 56, 50, 75, 81, 82le2subd 10839 . . . . 5 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) − ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8431, 65, 57, 74, 83letrd 10386 . . . 4 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8549, 55abs2difd 14395 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) − (abs‘(Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8631, 57, 59, 84, 85letrd 10386 . . 3 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))))
8749, 55abssubd 14391 . . 3 (𝜑 → (abs‘((((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
8886, 87breqtrd 4830 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
89 knoppndvlem15.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ ℕ0 ((𝐹𝑤)‘𝑖))
9032, 33, 89, 42, 1, 6, 44, 14knoppndvlem6 32814 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐵) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖))
91 elnn0uz 11918 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ (ℤ‘0))
926, 91sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ‘0))
9314adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑁 ∈ ℕ)
943adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐶 ∈ ℝ)
9546adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
96 elfznn0 12626 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9796adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9832, 33, 93, 94, 95, 97knoppcnlem3 32791 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
9998recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
100 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐵)‘𝑖) = ((𝐹𝐵)‘𝐽))
10192, 99, 100fsumm1 14679 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐵)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10290, 101eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐵) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)))
10332, 33, 89, 34, 1, 6, 37, 14knoppndvlem6 32814 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐴) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖))
10439adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10532, 33, 93, 94, 104, 97knoppcnlem3 32791 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℝ)
106105recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐹𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
107 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝐽 → ((𝐹𝐴)‘𝑖) = ((𝐹𝐴)‘𝐽))
10892, 106, 107fsumm1 14679 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐹𝐴)‘𝑖) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
109103, 108eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐴) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽)))
110102, 109oveq12d 6831 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
11152, 54, 41, 48subadd4d 10632 . . . . . 6 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))))
112111eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) + ((𝐹𝐵)‘𝐽)) − (Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖) + ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
113110, 112eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → ((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴)) = ((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
114113fveq2d 6356 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))) = (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))))
115114eqcomd 2766 . 2 (𝜑 → (abs‘((Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑖) − Σ𝑖 ∈ (0...(𝐽 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑖)) − (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)))) = (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
11688, 115breqtrd 4830 1 (𝜑 → ((((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2) · (1 − (1 / (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))) ≤ (abs‘((𝑊𝐵) − (𝑊𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  cfl 12785  cexp 13054  abscabs 14173  Σcsu 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-ulm 24330
This theorem is referenced by:  knoppndvlem17  32825
  Copyright terms: Public domain W3C validator