Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem12 32841
Description: Lemma for knoppndv 32852. (Contributed by Asger C. Ipsen, 29-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem12.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem12.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem12.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem12 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))

Proof of Theorem knoppndvlem12
StepHypRef Expression
1 1red 10267 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 2re 11302 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
4 knoppndvlem12.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5 nnre 11239 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
73, 6remulcld 10282 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
8 knoppndvlem12.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
98knoppndvlem3 32832 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
109simpld 477 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1110recnd 10280 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1211abscld 14394 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
137, 12remulcld 10282 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
14 1lt2 11406 . . . . . 6 1 < 2
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 2)
16 2t1e2 11388 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
1716eqcomi 2769 . . . . . . . 8 2 = (2 · 1)
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 = (2 · 1))
196, 12remulcld 10282 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) ∈ ℝ)
20 2rp 12050 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
22 knoppndvlem12.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
231, 19, 21, 22ltmul2dd 12141 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 1) < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
2418, 23eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (𝜑 → 2 < (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
253recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
266recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2712recnd 10280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℂ)
2825, 26, 27mulassd 10275 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) = (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))))
2928eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (𝑁 · (abs‘𝐶))) = ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
3024, 29breqtrd 4830 . . . . 5 (𝜑 → 2 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
311, 3, 13, 15, 30lttrd 10410 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
321, 31jca 555 . . 3 (𝜑 → (1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))))
33 ltne 10346 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶))) → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
3432, 33syl 17 . 2 (𝜑 → ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1)
35 1p1e2 11346 . . . . 5 (1 + 1) = 2
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
3736, 30eqbrtrd 4826 . . 3 (𝜑 → (1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)))
381, 1, 13ltaddsubd 10839 . . 3 (𝜑 → ((1 + 1) < ((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ↔ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
3937, 38mpbid 222 . 2 (𝜑 → 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1))
4034, 39jca 555 1 (𝜑 → (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) ≠ 1 ∧ 1 < (((2 · 𝑁) · (abs‘𝐶)) − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478  -cneg 10479  cn 11232  2c2 11282  +crp 12045  (,)cioo 12388  abscabs 14193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  32843  knoppndvlem15  32844  knoppndvlem17  32846  knoppndvlem20  32849
  Copyright terms: Public domain W3C validator