Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem11 32618
 Description: Lemma for knoppcn 32619. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem11.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem11.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem11.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem11.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem11 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝐹,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑚)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑁(𝑧,𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem11
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem11.t . . . . . 6 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppcnlem11.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppcnlem11.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 knoppcnlem11.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81, 2, 4, 6, 7knoppcnlem7 32614 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)))
9 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑙) = ((𝐹𝑤)‘𝑙))
10 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11 elnn0uz 11763 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
1210, 11sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ‘0))
134ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
146ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
15 simplr 807 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑤 ∈ ℝ)
16 elfzuz 12376 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ (ℤ‘0))
17 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
1816, 17syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
201, 2, 13, 14, 15, 19knoppcnlem3 32610 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑙) ∈ ℝ)
2120recnd 10106 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐹𝑤)‘𝑙) ∈ ℂ)
229, 12, 21fsumser 14505 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹𝑤)‘𝑙) = (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘))
2322eqcomd 2657 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘) = Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹𝑤)‘𝑙))
2423mpteq2dva 4777 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ (seq0( + , (𝐹𝑤))‘𝑘)) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹𝑤)‘𝑙)))
258, 24eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹𝑤)‘𝑙)))
26 eqid 2651 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
27 retopon 22614 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
29 fzfid 12812 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
304adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℕ)
316adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝐶 ∈ ℝ)
3218adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
331, 2, 30, 31, 32knoppcnlem10 32617 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3426, 28, 29, 33fsumcn 22720 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹𝑤)‘𝑙)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
35 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
36 ssid 3657 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
3735, 36pm3.2i 470 . . . . . 6 (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
3826tgioo2 22653 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
39 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
4026cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4140toponunii 20769 . . . . . . . . . 10 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4241restid 16141 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
4339, 42ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
4443eqcomi 2660 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
4526, 38, 44cncfcn 22759 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4637, 45ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4734, 46syl6eleqr 2741 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ ℝ ↦ Σ𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐹𝑤)‘𝑙)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
4825, 47eqeltrd 2730 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
49 eqid 2651 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
5048, 49fmptd 6425 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
51 0z 11426 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
52 seqfn 12853 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
5351, 52ax-mp 5 . . . . 5 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0)
5417fneq2i 6024 . . . . 5 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn (ℤ‘0))
5553, 54mpbir 221 . . . 4 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0
56 dffn5 6280 . . . 4 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) Fn ℕ0 ↔ seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)))
5755, 56mpbi 220 . . 3 seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘))
5857feq1i 6074 . 2 (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚))))‘𝑘)):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
5950, 58sylibr 224 1 (𝜑 → seq0( ∘𝑓 + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑚)))):ℕ0⟶(ℝ–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  (,)cioo 12213  ...cfz 12364  ⌊cfl 12631  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  abscabs 14018  Σcsu 14460   ↾t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ℂfldccnfld 19794  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076  –cn→ccncf 22726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728 This theorem is referenced by:  knoppcn  32619
 Copyright terms: Public domain W3C validator