Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem10 32617
Description: Lemma for knoppcn 32619. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem10.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
51, 2, 4knoppcnlem1 32608 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
65mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7 retopon 22614 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9 eqid 2651 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopon 22633 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12 knoppcnlem10.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312recnd 10106 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413, 3expcld 13048 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
158, 11, 14cnmptc 21513 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 knoppcnlem10.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2117, 20remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2221, 3reexpcld 13065 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
2322recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
248, 11, 23cnmptc 21513 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
259tgioo2 22653 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
2710topontopi 20768 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
28 cnrest2r 21139 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3026, 29eqsstri 3668 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
318cnmptid 21512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
3230, 31sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
339mulcn 22717 . . . . . . . 8 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
358, 24, 32, 34cnmpt12f 21517 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3622adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
3736, 2remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
38 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))
3937, 38fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
40 frn 6091 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
42 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4411, 41, 433jca 1261 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ))
45 cnrest2 21138 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4735, 46mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4847, 26syl6eleqr 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
49 ssid 3657 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
5042, 49pm3.2i 470 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
51 cncfss 22749 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
53 knoppcnlem10.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5453dnicn 32607 . . . . . . 7 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5652, 55sseldi 3634 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
57 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
5810toponunii 20769 . . . . . . . . . 10 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
5958restid 16141 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
6057, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
6160eqcomi 2660 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
629, 25, 61cncfcn 22759 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6350, 62ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6456, 63syl6eleq 2740 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
658, 48, 64cnmpt11f 21515 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
668, 15, 65, 34cnmpt12f 21517 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
676, 66eqeltrd 2730 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  cmpt 4762  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  (,)cioo 12213  cfl 12631  cexp 12900  abscabs 14018  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  cnccncf 22726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728
This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  32618
  Copyright terms: Public domain W3C validator