MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kmlem8 9017
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem8 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
Distinct variable group:   𝑦,𝑢,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑦,𝑧,𝑤,𝑢)

Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 3021 . . . . 5 (∀𝑧𝑢 ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓 ↔ ¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓)
2 df-rex 2947 . . . . . . . 8 (∃𝑤𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓))
3 rexnal 3024 . . . . . . . 8 (∃𝑤𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓)
42, 3bitr3i 266 . . . . . . 7 (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓)
5 exsimpl 1835 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → ∃𝑤 𝑤𝑧)
6 n0 3964 . . . . . . . 8 (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑧)
75, 6sylibr 224 . . . . . . 7 (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → 𝑧 ≠ ∅)
84, 7sylbir 225 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝑧 𝜓𝑧 ≠ ∅)
98ralimi 2981 . . . . 5 (∀𝑧𝑢 ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓 → ∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅)
101, 9sylbir 225 . . . 4 (¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅)
11 biimt 349 . . . . . . . . 9 (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1211ralimi 2981 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
13 ralbi 3097 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) → (∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1514anbi2d 740 . . . . . 6 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ((¬ 𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ (¬ 𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)))))
1615exbidv 1890 . . . . 5 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)))))
17 kmlem2 9011 . . . . 5 (∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1816, 17syl6rbbr 279 . . . 4 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1910, 18syl 17 . . 3 (¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → (∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
2019pm5.74i 260 . 2 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
21 pm4.64 386 . 2 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
2220, 21bitri 264 1 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wex 1744  wcel 2030  ∃!weu 2498  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  c0 3948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-sn 4211  df-pr 4213  df-uni 4469
This theorem is referenced by:  dfackm  9026
  Copyright terms: Public domain W3C validator