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Theorem kmlem16 9025
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
kmlem14.1 (𝜑 ↔ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥𝑦𝑣) ∧ 𝑧𝑣)))
kmlem14.2 (𝜓 ↔ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
kmlem14.3 (𝜒 ↔ ∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))
Assertion
Ref Expression
kmlem16 ((∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ∨ ∃𝑦𝑦𝑥𝜒)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem kmlem16
StepHypRef Expression
1 kmlem14.1 . . . 4 (𝜑 ↔ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥𝑦𝑣) ∧ 𝑧𝑣)))
2 kmlem14.2 . . . 4 (𝜓 ↔ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
3 kmlem14.3 . . . 4 (𝜒 ↔ ∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))
41, 2, 3kmlem14 9023 . . 3 (∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑))
51, 2, 3kmlem15 9024 . . . 4 ((¬ 𝑦𝑥𝜒) ↔ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))
65exbii 1814 . . 3 (∃𝑦𝑦𝑥𝜒) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))
74, 6orbi12i 542 . 2 ((∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ∨ ∃𝑦𝑦𝑥𝜒)) ↔ (∃𝑦𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
8 19.43 1850 . 2 (∃𝑦(∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∃𝑦𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
9 pm3.24 944 . . . . . 6 ¬ (𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥)
10 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
1110sps 2093 . . . . . . . 8 (∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
1211exlimivv 1900 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
13 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
1413sps 2093 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
1514exlimivv 1900 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
1612, 15anim12i 589 . . . . . 6 ((∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
179, 16mto 188 . . . . 5 ¬ (∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))
18 19.33b 1853 . . . . 5 (¬ (∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (∀𝑧(∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))))
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
2010exlimiv 1898 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
2113exlimiv 1898 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
2220, 21anim12i 589 . . . . . . . . 9 ((∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
239, 22mto 188 . . . . . . . 8 ¬ (∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑢𝑦𝑥𝜓))
24 19.33b 1853 . . . . . . . 8 (¬ (∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (∀𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓))))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓)))
2625exbii 1814 . . . . . 6 (∃𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∃𝑣(∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓)))
27 19.43 1850 . . . . . 6 (∃𝑣(∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
2826, 27bitr2i 265 . . . . 5 ((∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
2928albii 1787 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∀𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
3019, 29bitr3i 266 . . 3 ((∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∀𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
3130exbii 1814 . 2 (∃𝑦(∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
327, 8, 313bitr2i 288 1 ((∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ∨ ∃𝑦𝑦𝑥𝜒)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wal 1521  wex 1744  wcel 2030  ∃!weu 2498  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-v 3233  df-in 3614
This theorem is referenced by:  dfackm  9026
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