MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kmlem13 9022
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑡𝑥 𝑢 = (𝑡 (𝑥 ∖ {𝑡}))}
Assertion
Ref Expression
kmlem13 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡   𝑦,𝐴,𝑧,𝑤,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑢,𝑡)

Proof of Theorem kmlem13
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kmlem1 9010 . . 3 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) → ∀𝑥(∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
2 raleq 3168 . . . . . . 7 (𝑥 = → (∀𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) ↔ ∀𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)))
32raleqbi1dv 3176 . . . . . 6 (𝑥 = → (∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) ↔ ∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)))
4 raleq 3168 . . . . . . 7 (𝑥 = → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
54exbidv 1890 . . . . . 6 (𝑥 = → (∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
63, 5imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = → ((∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))))
76cbvalv 2309 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ ∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
8 kmlem9.1 . . . . . . 7 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑡𝑥 𝑢 = (𝑡 (𝑥 ∖ {𝑡}))}
98kmlem10 9019 . . . . . 6 (∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∃𝑦𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
10 ineq2 3841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑔 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑔))
1110eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑔 → (𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)))
1211eubidv 2518 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑔 → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)))
1312imbi2d 329 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑔 → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔))))
1413ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑔 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔))))
1514cbvexv 2311 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)))
16 kmlem3 9012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
17 ralinexa 3026 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
1817rexbii 3070 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑧 ¬ ∃𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
19 rexnal 3024 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣𝑧 ¬ ∃𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
2016, 18, 193bitri 286 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
2120ralbii 3009 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝑥 ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
22 ralnex 3021 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
2321, 22bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
248kmlem12 9021 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))))
25 vex 3234 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
2625inex1 4832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 𝐴) ∈ V
27 ineq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (𝑧𝑦) = (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))
2827eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴))))
2928eubidv 2518 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴))))
3029imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))))
3130ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))))
3226, 31spcev 3331 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴))) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
3324, 32syl6 35 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3433exlimdv 1901 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3623, 35syl5bir 233 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → (¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3715, 36sylbi 207 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) → (¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
389, 37syl 17 . . . . 5 (∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → (¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3938alrimiv 1895 . . . 4 (∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
407, 39sylbi 207 . . 3 (∀𝑥(∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
411, 40syl 17 . 2 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
42 kmlem7 9016 . . . . 5 ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
4342imim1i 63 . . . 4 ((¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
44 biimt 349 . . . . . . . . 9 (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4544ralimi 2981 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧𝑥 (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
46 ralbi 3097 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → (∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4847exbidv 1890 . . . . . 6 (∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4948adantr 480 . . . . 5 ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → (∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
5049pm5.74i 260 . . . 4 (((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
5143, 50sylibr 224 . . 3 ((¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
5251alimi 1779 . 2 (∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
5341, 52impbii 199 1 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  ∃!weu 2498  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cin 3606  c0 3948  {csn 4210   cuni 4468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934
This theorem is referenced by:  dfackm  9026
  Copyright terms: Public domain W3C validator