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Theorem kgencmp2 21571
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 21570 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2 simpr 479 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
31, 2eqeltrrd 2840 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
4 cmptop 21420 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top)
5 restrcl 21183 . . . . . . . 8 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
65simprd 482 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp → 𝐾 ∈ V)
8 resttop 21186 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
97, 8sylan2 492 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
10 eqid 2760 . . . . . 6 (𝐽t 𝐾) = (𝐽t 𝐾)
1110toptopon 20944 . . . . 5 ((𝐽t 𝐾) ∈ Top ↔ (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
129, 11sylib 208 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)))
13 eqid 2760 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
1413kgenuni 21564 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 = (𝑘Gen‘𝐽))
1615ineq2d 3957 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)))
1713restuni2 21193 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
187, 17sylan2 492 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 𝐽) = (𝐽t 𝐾))
19 kgenftop 21565 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
20 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑘Gen‘𝐽) = (𝑘Gen‘𝐽)
2120restuni2 21193 . . . . . . 7 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2219, 7, 21syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐾 (𝑘Gen‘𝐽)) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2316, 18, 223eqtr3d 2802 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
2423fveq2d 6357 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (TopOn‘ (𝐽t 𝐾)) = (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
2512, 24eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)))
26 simpr 479 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp)
2719adantr 472 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
28 kgenss 21568 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
2928adantr 472 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
30 ssrest 21202 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
3127, 29, 30syl2anc 696 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
32 eqid 2760 . . . 4 ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)
3332sscmp 21430 . . 3 (((𝐽t 𝐾) ∈ (TopOn‘ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp ∧ (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾)) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
3425, 26, 31, 33syl3anc 1477 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
353, 34impbida 913 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp ↔ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ∈ Comp))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715   cuni 4588  cfv 6049  (class class class)co 6814  t crest 16303  Topctop 20920  TopOnctopon 20937  Compccmp 21411  𝑘Genckgen 21558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127  df-fi 8484  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cmp 21412  df-kgen 21559
This theorem is referenced by:  kgenidm  21572
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