MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgencmp 21568
Description: The compact generator topology is the same as the original topology on compact subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))

Proof of Theorem kgencmp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenftop 21563 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
21adantr 466 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
3 kgenss 21566 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
43adantr 466 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
5 ssrest 21200 . . 3 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
62, 4, 5syl2anc 565 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
7 cmptop 21418 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐾) ∈ Comp → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
87adantl 467 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) ∈ Top)
9 restrcl 21181 . . . . . 6 ((𝐽t 𝐾) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
109simprd 477 . . . . 5 ((𝐽t 𝐾) ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → 𝐾 ∈ V)
12 restval 16294 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ V) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)))
132, 11, 12syl2anc 565 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) = ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)))
14 simpr 471 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽))
15 simplr 744 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽t 𝐾) ∈ Comp)
16 kgeni 21560 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥𝐾) ∈ (𝐽t 𝐾))
1714, 15, 16syl2anc 565 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) ∧ 𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑥𝐾) ∈ (𝐽t 𝐾))
18 eqid 2770 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)) = (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾))
1917, 18fmptd 6527 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)):(𝑘Gen‘𝐽)⟶(𝐽t 𝐾))
20 frn 6193 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)):(𝑘Gen‘𝐽)⟶(𝐽t 𝐾) → ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)) ⊆ (𝐽t 𝐾))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ran (𝑥 ∈ (𝑘Gen‘𝐽) ↦ (𝑥𝐾)) ⊆ (𝐽t 𝐾))
2213, 21eqsstrd 3786 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾) ⊆ (𝐽t 𝐾))
236, 22eqssd 3767 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽t 𝐾) ∈ Comp) → (𝐽t 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) ↾t 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721  cmpt 4861  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  t crest 16288  Topctop 20917  Compccmp 21409  𝑘Genckgen 21556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-fin 8112  df-fi 8472  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cmp 21410  df-kgen 21557
This theorem is referenced by:  kgencmp2  21569  kgenidm  21570
  Copyright terms: Public domain W3C validator