MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kerf1hrm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kerf1hrm 18791
Description: A ring homomorphism 𝐹 is injective if and only if its kernel is the singleton {𝑁}. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
kerf1hrm.a 𝐴 = (Base‘𝑅)
kerf1hrm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
kerf1hrm.n 𝑁 = (0g𝑅)
kerf1hrm.0 0 = (0g𝑆)
Assertion
Ref Expression
kerf1hrm (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem kerf1hrm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵))
2 f1fn 6140 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
32adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
4 elpreima 6377 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 })))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 })))
65biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ { 0 }))
76simpld 474 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → 𝑥𝐴)
86simprd 478 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → (𝐹𝑥) ∈ { 0 })
9 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (𝐹𝑥) ∈ V
109elsn 4225 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹𝑥) = 0 )
118, 10sylib 208 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → (𝐹𝑥) = 0 )
12 kerf1hrm.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Base‘𝑅)
13 kerf1hrm.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (Base‘𝑆)
14 kerf1hrm.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑆)
15 kerf1hrm.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (0g𝑅)
1612, 13, 14, 15f1rhm0to0 18788 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
1716biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
18173expa 1284 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
1918imp 444 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = 0 ) → 𝑥 = 𝑁)
201, 7, 11, 19syl21anc 1365 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 })) → 𝑥 = 𝑁)
2120ex 449 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) → 𝑥 = 𝑁))
22 velsn 4226 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
2321, 22syl6ibr 242 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ { 0 }) → 𝑥 ∈ {𝑁}))
2423ssrdv 3642 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 “ { 0 }) ⊆ {𝑁})
25 rhmrcl1 18767 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
26 ringgrp 18598 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2712, 15grpidcl 17497 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 𝑁𝐴)
2825, 26, 273syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑁𝐴)
29 rhmghm 18773 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
3015, 14ghmid 17713 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹𝑁) = 0 )
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹𝑁) = 0 )
32 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝐹𝑁) ∈ V
3332elsn 4225 . . . . . . 7 ((𝐹𝑁) ∈ { 0 } ↔ (𝐹𝑁) = 0 )
3431, 33sylibr 224 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹𝑁) ∈ { 0 })
3512, 13rhmf 18774 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐴𝐵)
36 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
37 elpreima 6377 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑁 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑁𝐴 ∧ (𝐹𝑁) ∈ { 0 })))
3835, 36, 373syl 18 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑁 ∈ (𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑁𝐴 ∧ (𝐹𝑁) ∈ { 0 })))
3928, 34, 38mpbir2and 977 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑁 ∈ (𝐹 “ { 0 }))
4039snssd 4372 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → {𝑁} ⊆ (𝐹 “ { 0 }))
4140adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → {𝑁} ⊆ (𝐹 “ { 0 }))
4224, 41eqssd 3653 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁})
4335adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}) → 𝐹:𝐴𝐵)
4429adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
45 simpr2l 1140 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → 𝑥𝐴)
46 simpr2r 1141 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → 𝑦𝐴)
47 simpr3 1089 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
48 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 “ { 0 }) = (𝐹 “ { 0 })
49 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝑅) = (-g𝑅)
5012, 14, 48, 49ghmeqker 17734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑦) ∈ (𝐹 “ { 0 })))
5150biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥(-g𝑅)𝑦) ∈ (𝐹 “ { 0 }))
5244, 45, 46, 47, 51syl31anc 1369 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → (𝑥(-g𝑅)𝑦) ∈ (𝐹 “ { 0 }))
53 simpr1 1087 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁})
5452, 53eleqtrd 2732 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → (𝑥(-g𝑅)𝑦) ∈ {𝑁})
55 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (𝑥(-g𝑅)𝑦) ∈ V
5655elsn 4225 . . . . . . . 8 ((𝑥(-g𝑅)𝑦) ∈ {𝑁} ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑦) = 𝑁)
5754, 56sylib 208 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → (𝑥(-g𝑅)𝑦) = 𝑁)
5825adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
5958, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → 𝑅 ∈ Grp)
6012, 15, 49grpsubeq0 17548 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝑥(-g𝑅)𝑦) = 𝑁𝑥 = 𝑦))
6159, 45, 46, 60syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → ((𝑥(-g𝑅)𝑦) = 𝑁𝑥 = 𝑦))
6257, 61mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((𝐹 “ { 0 }) = {𝑁} ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
63623anassrs 1313 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
6463ex 449 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
6564ralrimivva 3000 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
66 dff13 6552 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
6743, 65, 66sylanbrc 699 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
6842, 67impbida 895 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹:𝐴1-1𝐵 ↔ (𝐹 “ { 0 }) = {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  {csn 4210  ccnv 5142  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  1-1wf1 5923  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471   GrpHom cghm 17704  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763
This theorem is referenced by:  zrhf1ker  30147
  Copyright terms: Public domain W3C validator