Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kercvrlsm 37970
 Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z 0 = (0g𝑇)
kercvrlsm.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d (𝜑𝐷𝑈)
kercvrlsm.cv (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 19081 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
4 kercvrlsm.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
5 kercvrlsm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑇)
6 kercvrlsm.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
74, 5, 6lmhmkerlss 19099 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑈)
9 kercvrlsm.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑈)
10 kercvrlsm.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑆)
116, 10lsmcl 19131 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑈𝐷𝑈) → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
123, 8, 9, 11syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
13 kercvrlsm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1413, 6lssss 18985 . . 3 ((𝐾 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
16 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1713, 16lmhmf 19082 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19 ffn 6083 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn 𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
21 fnfvelrn 6396 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
2220, 21sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
23 kercvrlsm.cv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2522, 24eleqtrrd 2733 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷))
2620adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
2713, 6lssss 18985 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑈𝐷𝐵)
289, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐵)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐷𝐵)
30 fvelimab 6292 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3126, 29, 30syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3225, 31mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
33 lmodgrp 18918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
36 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑎𝐵)
3728sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐵)
3837adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑏𝐵)
39 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑆) = (+g𝑆)
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝑆) = (-g𝑆)
4113, 39, 40grpnpcan 17554 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4235, 36, 38, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4342adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
443ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
4513, 6lssss 18985 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾𝑈𝐾𝐵)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝐵)
4746ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐾𝐵)
4828ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐷𝐵)
49 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
50 lmghm 19079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5313, 5, 4, 40ghmeqker 17734 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5452, 36, 38, 53syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5549, 54syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5655biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
57 simplrr 818 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑏𝐷)
5813, 39, 10lsmelvalix 18102 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐵𝐷𝐵) ∧ ((𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5944, 47, 48, 56, 57, 58syl32anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
6043, 59eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6160ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6261anassrs 681 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6362rexlimdva 3060 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6432, 63mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6564ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6665ssrdv 3642 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐾 𝐷))
6715, 66eqssd 3653 1 (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ◡ccnv 5142  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471   GrpHom cghm 17704  LSSumclsm 18095  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980   LMHom clmhm 19067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070 This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  37973
 Copyright terms: Public domain W3C validator