Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac2 38054
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
kelac2.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac2.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac2 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
2 kelac2.s . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
3 kelac2lem 38053 . . 3 (𝑆𝑉 → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp)
4 cmptop 21321 . . 3 ((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Comp → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
52, 3, 43syl 18 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top)
6 uncom 3865 . . . . . . 7 (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) = ({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆)
76difeq1i 3832 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆)
8 difun2 4156 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∪ 𝑆) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
97, 8eqtri 2746 . . . . 5 ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆) = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆)
10 snex 5013 . . . . . . 7 {𝒫 𝑆} ∈ V
11 uniprg 4558 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉 ∧ {𝒫 𝑆} ∈ V) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
122, 10, 11sylancl 697 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}))
1312difeq1d 3835 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = ((𝑆 ∪ {𝒫 𝑆}) ∖ 𝑆))
14 incom 3913 . . . . . . 7 ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆})
15 pwuninel 7521 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 𝑆𝑆
1615a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
17 disjsn 4353 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅ ↔ ¬ 𝒫 𝑆𝑆)
1816, 17sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∩ {𝒫 𝑆}) = ∅)
1914, 18syl5eq 2770 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅)
20 disj3 4129 . . . . . 6 (({𝒫 𝑆} ∩ 𝑆) = ∅ ↔ {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
2119, 20sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} = ({𝒫 𝑆} ∖ 𝑆))
229, 13, 213eqtr4a 2784 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) = {𝒫 𝑆})
23 prex 5014 . . . . . 6 {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V
24 bastg 20893 . . . . . 6 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2523, 24mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝑆, {𝒫 𝑆}} ⊆ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2610prid2 4405 . . . . . 6 {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}}
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
2825, 27sseldd 3710 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
2922, 28eqeltrd 2803 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
30 prid1g 4402 . . . . 5 (𝑆𝑉𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
31 elssuni 4575 . . . . 5 (𝑆 ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
322, 30, 313syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
33 unitg 20894 . . . . . . 7 ({𝑆, {𝒫 𝑆}} ∈ V → (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}})
3423, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) = {𝑆, {𝒫 𝑆}}
3534eqcomi 2733 . . . . 5 {𝑆, {𝒫 𝑆}} = (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})
3635iscld2 20955 . . . 4 (((topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}) ∈ Top ∧ 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}}) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
375, 32, 36syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})) ↔ ( {𝑆, {𝒫 𝑆}} ∖ 𝑆) ∈ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
3829, 37mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ∈ (Clsd‘(topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}})))
39 f1oi 6287 . . 3 ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆
4039a1i 11 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → ( I ↾ 𝑆):𝑆1-1-onto𝑆)
41 elssuni 4575 . . . . 5 ({𝒫 𝑆} ∈ {𝑆, {𝒫 𝑆}} → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4226, 41mp1i 13 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → {𝒫 𝑆} ⊆ {𝑆, {𝒫 𝑆}})
43 uniexg 7072 . . . . 5 (𝑆𝑉 𝑆 ∈ V)
44 pwexg 4955 . . . . 5 ( 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ V)
45 snidg 4314 . . . . 5 (𝒫 𝑆 ∈ V → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
462, 43, 44, 454syl 19 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 ∈ {𝒫 𝑆})
4742, 46sseldd 3710 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 {𝑆, {𝒫 𝑆}})
4847, 34syl6eleqr 2814 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝒫 𝑆 (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))
49 kelac2.k . 2 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼 ↦ (topGen‘{𝑆, {𝒫 𝑆}}))) ∈ Comp)
501, 5, 38, 40, 48, 49kelac1 38052 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wne 2896  Vcvv 3304  cdif 3677  cun 3678  cin 3679  wss 3680  c0 4023  𝒫 cpw 4266  {csn 4285  {cpr 4287   cuni 4544  cmpt 4837   I cid 5127  cres 5220  1-1-ontowf1o 6000  cfv 6001  Xcixp 8025  topGenctg 16221  tcpt 16222  Topctop 20821  Clsdccld 20943  Compccmp 21312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fi 8433  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-top 20822  df-bases 20873  df-cld 20946  df-cmp 21313
This theorem is referenced by:  dfac21  38055
  Copyright terms: Public domain W3C validator