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Theorem karatsuba 15839
Description: The Karatsuba multiplication algorithm. If 𝑋 and 𝑌 are decomposed into two groups of digits of length 𝑀 (only the lower group is known to be this size but the algorithm is most efficient when the partition is chosen near the middle of the digit string), then 𝑋𝑌 can be written in three groups of digits, where each group needs only one multiplication. Thus, we can halve both inputs with only three multiplications on the smaller operands, yielding an asymptotic improvement of n^(log2 3) instead of n^2 for the "naive" algorithm decmul1c 11625. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
karatsuba.a 𝐴 ∈ ℕ0
karatsuba.b 𝐵 ∈ ℕ0
karatsuba.c 𝐶 ∈ ℕ0
karatsuba.d 𝐷 ∈ ℕ0
karatsuba.s 𝑆 ∈ ℕ0
karatsuba.m 𝑀 ∈ ℕ0
karatsuba.r (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsuba.t (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsuba.e ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsuba.x ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsuba.y ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsuba.w ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsuba.z ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
Assertion
Ref Expression
karatsuba (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsuba
StepHypRef Expression
1 karatsuba.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0cni 11342 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
3 10nn0 11554 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
43nn0cni 11342 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
5 karatsuba.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
6 expcl 12918 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
74, 5, 6mp2an 708 . . . . 5 (10↑𝑀) ∈ ℂ
82, 7mulcli 10083 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
9 karatsuba.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 11342 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
11 karatsuba.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11342 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
1312, 7mulcli 10083 . . . 4 (𝐶 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
14 karatsuba.d . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11342 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
168, 10, 13, 15muladdi 10519 . . 3 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
178, 13mulcli 10083 . . . 4 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
1815, 10mulcli 10083 . . . 4 (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
198, 15mulcli 10083 . . . . 5 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
2013, 10mulcli 10083 . . . . 5 ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
2119, 20addcli 10082 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
2217, 18, 21add32i 10297 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
238, 12mulcli 10083 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24 karatsuba.s . . . . . . 7 𝑆 ∈ ℕ0
2524nn0cni 11342 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2623, 25, 7adddiri 10089 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀)))
272, 7, 12mul32i 10270 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀))
28 karatsuba.r . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
2928oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀)) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3027, 29eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3130oveq1i 6700 . . . . . . 7 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆)
32 karatsuba.w . . . . . . 7 ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
3331, 32eqtri 2673 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
3433oveq1i 6700 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = (𝑊 · (10↑𝑀))
358, 12, 7mulassi 10087 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀)))
362, 12mulcli 10083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
3736, 18, 25add32i 10297 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
3828oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39 karatsuba.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
4010, 15, 39mulcomli 10085 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
4138, 40oveq12i 6702 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
4237, 41eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43 karatsuba.e . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
442, 10, 12, 15muladdi 10519 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4542, 43, 443eqtr2i 2679 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4636, 18addcli 10082 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
472, 15mulcli 10083 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
4812, 10mulcli 10083 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
4947, 48addcli 10082 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
5046, 25, 49addcani 10267 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
5145, 50mpbi 220 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
5251oveq1i 6700 . . . . . . 7 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀))
5347, 48, 7adddiri 10089 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)))
542, 15, 7mul32i 10270 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷)
5512, 10, 7mul32i 10270 . . . . . . . 8 ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)) = ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)
5654, 55oveq12i 6702 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5752, 53, 563eqtri 2677 . . . . . 6 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5835, 57oveq12i 6702 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
5926, 34, 583eqtr3ri 2682 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (10↑𝑀))
6059, 40oveq12i 6702 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
6116, 22, 603eqtri 2677 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
62 karatsuba.x . . 3 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63 karatsuba.y . . 3 ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
6462, 63oveq12i 6702 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65 karatsuba.z . 2 ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
6661, 64, 653eqtr3i 2681 1 (𝑋 · 𝑌) = 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330  cdc 11531  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  dpmul4  29750
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