Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004val0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004val0 38978
 Description: The topological simplex of dimension 0 is a singleton. (Contributed by RP, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004val0 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004val0
StepHypRef Expression
1 0nn0 11514 . . 3 0 ∈ ℕ0
2 k0004.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
32k0004val 38974 . . 3 (0 ∈ ℕ0 → (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝐴‘0) = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
5 0p1e1 11338 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
65oveq2i 6807 . . . . . . 7 (1...(0 + 1)) = (1...1)
7 1z 11614 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
8 fzsn 12590 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 (1...1) = {1}
106, 9eqtri 2793 . . . . . 6 (1...(0 + 1)) = {1}
1110oveq2i 6807 . . . . 5 ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1})
12 rabeq 3342 . . . . 5 (((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) = ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1}
1410sumeq1i 14636 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘)
15 elmapi 8035 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → 𝑡:{1}⟶(0[,]1))
16 fsn2g 6551 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩})))
177, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) ↔ ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
1817biimpi 206 . . . . . . . . 9 (𝑡:{1}⟶(0[,]1) → ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}))
19 unitssre 12526 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]1) ⊆ ℝ
20 ax-resscn 10199 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3761 . . . . . . . . . . 11 (0[,]1) ⊆ ℂ
2221sseli 3748 . . . . . . . . . 10 ((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2322adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑡‘1) ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 = {⟨1, (𝑡‘1)⟩}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
2415, 18, 233syl 18 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (𝑡‘1) ∈ ℂ)
25 fveq2 6333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 1 → (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2625sumsn 14683 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑡‘1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
277, 24, 26sylancr 575 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2814, 27syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = (𝑡‘1))
2928eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) → (Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1 ↔ (𝑡‘1) = 1))
3029rabbiia 3334 . . . 4 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
3113, 30eqtri 2793 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1}
32 rabeqsn 4353 . . . 4 ({𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}} ↔ ∀𝑡((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
33 ovex 6827 . . . . 5 (0[,]1) ∈ V
34 1elunit 12498 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
35 k0004lem3 38973 . . . . 5 ((1 ∈ ℤ ∧ (0[,]1) ∈ V ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩}))
367, 33, 34, 35mp3an 1572 . . . 4 ((𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∧ (𝑡‘1) = 1) ↔ 𝑡 = {⟨1, 1⟩})
3732, 36mpgbir 1874 . . 3 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 {1}) ∣ (𝑡‘1) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
3831, 37eqtri 2793 . 2 {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(0 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(0 + 1))(𝑡𝑘) = 1} = {{⟨1, 1⟩}}
394, 38eqtri 2793 1 (𝐴‘0) = {{⟨1, 1⟩}}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351  {csn 4317  ⟨cop 4323   ↦ cmpt 4864  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↑𝑚 cmap 8013  ℂcc 10140  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  ℕ0cn0 11499  ℤcz 11584  [,]cicc 12383  ...cfz 12533  Σcsu 14624 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator