MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joinlem 17219
Description: Lemma for join properties. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.) (Revised by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
joinval2.l = (le‘𝐾)
joinval2.j = (join‘𝐾)
joinval2.k (𝜑𝐾𝑉)
joinval2.x (𝜑𝑋𝐵)
joinval2.y (𝜑𝑌𝐵)
joinlem.e (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
Assertion
Ref Expression
joinlem (𝜑 → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   (𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem joinlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 joinval2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 joinval2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
4 joinval2.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝑉)
5 joinval2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
6 joinval2.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
7 joinlem.e . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7joineu 17218 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
9 riotasbc 6769 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) → [(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑[(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6joinval2 17217 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))))
1211sbceq1d 3592 . . 3 (𝜑 → ([(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ [(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))))
1310, 12mpbird 247 . 2 (𝜑[(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
14 ovex 6823 . . 3 (𝑋 𝑌) ∈ V
15 breq2 4790 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑥𝑋 (𝑋 𝑌)))
16 breq2 4790 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑌 𝑥𝑌 (𝑋 𝑌)))
1715, 16anbi12d 616 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌))))
18 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑋 𝑌) 𝑧))
1918imbi2d 329 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧) ↔ ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2019ralbidv 3135 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2117, 20anbi12d 616 . . 3 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧))))
2214, 21sbcie 3622 . 2 ([(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2313, 22sylib 208 1 (𝜑 → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  ∃!wreu 3063  [wsbc 3587  cop 4322   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  crio 6753  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-lub 17182  df-join 17184
This theorem is referenced by:  lejoin1  17220  lejoin2  17221  joinle  17222
  Copyright terms: Public domain W3C validator