Theorem joincl 17214

Description: Closure of join of elements in the domain. (Contributed by NM, 12-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
joincl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
joincl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
joincl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
joincl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
joincl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
joincl.e	⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )

Assertion

Ref	Expression
joincl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem joincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2		joincl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		joincl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4		joincl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		joincl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	joinval 17213	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) = ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}))
7		joincl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		joincl.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ )
9	1, 2, 3, 4, 5	joindef 17212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom ∨ ↔ {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾)))
10	8, 9	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ∈ dom (lub‘𝐾))
11	7, 1, 3, 10	lubcl 17193	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lub‘𝐾)‘{𝑋, 𝑌}) ∈ 𝐵)
12	6, 11	eqeltrd 2850	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {cpr 4318  ⟨cop 4322  dom cdm 5249  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lubclub 17150  joincjn 17152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-lub 17182  df-join 17184

This theorem is referenced by:  joinle  17222  latlem  17257