MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem join0 17366
Description: Lemma for odumeet 17368. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0 (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4937 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2774 . . . 4 (lub‘∅) = (lub‘∅)
3 eqid 2774 . . . 4 (join‘∅) = (join‘∅)
42, 3joinfval 17229 . . 3 (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
51, 4ax-mp 5 . 2 (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6 df-oprab 6816 . . 3 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7 br0 4846 . . . . . . . . 9 ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8 base0 16139 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2774 . . . . . . . . . . . . 13 (le‘∅) = (le‘∅)
10 biid 252 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
128, 9, 2, 10, 11lubfval 17206 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))})
14 rex0 4096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))
15 reurex 3313 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))
1614, 15mto 188 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))
1716abf 4133 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
1817reseq2i 5543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
19 res0 5550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
2018, 19eqtri 2796 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
2113, 20eqtri 2796 . . . . . . . . . 10 (lub‘∅) = ∅
2221breqi 4803 . . . . . . . . 9 ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
237, 22mtbir 313 . . . . . . . 8 ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
2423intnan 475 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2524nex 1882 . . . . . 6 ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2625nex 1882 . . . . 5 ¬ ∃𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2726nex 1882 . . . 4 ¬ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2827abf 4133 . . 3 {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
296, 28eqtri 2796 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
305, 29eqtri 2796 1 (join‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wex 1855  wcel 2148  {cab 2760  wral 3064  wrex 3065  ∃!wreu 3066  Vcvv 3355  c0 4073  𝒫 cpw 4307  {cpr 4328  cop 4332   class class class wbr 4797  cmpt 4876  cres 5265  cfv 6042  crio 6772  {coprab 6813  lecple 16176  lubclub 17170  joincjn 17172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-id 5171  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-oprab 6816  df-slot 16088  df-base 16090  df-lub 17202  df-join 17204
This theorem is referenced by:  odujoin  17370
  Copyright terms: Public domain W3C validator