Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem1 38055
Description: Lemma for jm3.1 38058. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)

Proof of Theorem jm3.1lem1
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelre 11861 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4 jm3.1.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11514 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5reexpcld 13190 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
7 2z 11572 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
8 uzid 11865 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
10 uz2mulcl 11930 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐾) ∈ (ℤ‘2))
119, 1, 10sylancr 698 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ (ℤ‘2))
12 uz2m1nn 11927 . . . . 5 ((2 · 𝐾) ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐾) − 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 1) ∈ ℕ)
1413nnred 11198 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
1514, 5reexpcld 13190 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁) ∈ ℝ)
16 jm3.1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
17 eluzelre 11861 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
19 uz2m1nn 11927 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
201, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
2120nngt0d 11227 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (𝐾 − 1))
22 2cn 11254 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
233recnd 10231 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
24 mulcl 10183 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
2522, 23, 24sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
26 1cnd 10219 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2725, 26, 23sub32d 10587 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 1) − 𝐾) = (((2 · 𝐾) − 𝐾) − 1))
28232timesd 11438 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝐾) = (𝐾 + 𝐾))
2928oveq1d 6816 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 𝐾) = ((𝐾 + 𝐾) − 𝐾))
3023, 23pncand 10556 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾 + 𝐾) − 𝐾) = 𝐾)
3129, 30eqtrd 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 𝐾) = 𝐾)
3231oveq1d 6816 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 𝐾) − 1) = (𝐾 − 1))
3327, 32eqtrd 2782 . . . . 5 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 1) − 𝐾) = (𝐾 − 1))
3421, 33breqtrrd 4820 . . . 4 (𝜑 → 0 < (((2 · 𝐾) − 1) − 𝐾))
353, 14posdifd 10777 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 < ((2 · 𝐾) − 1) ↔ 0 < (((2 · 𝐾) − 1) − 𝐾)))
3634, 35mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐾 < ((2 · 𝐾) − 1))
37 eluz2nn 11890 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
381, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3938nnrpd 12034 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
4013nnrpd 12034 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ+)
41 rpexpmord 37984 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ ((2 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ+) → (𝐾 < ((2 · 𝐾) − 1) ↔ (𝐾𝑁) < (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁)))
424, 39, 40, 41syl3anc 1463 . . 3 (𝜑 → (𝐾 < ((2 · 𝐾) − 1) ↔ (𝐾𝑁) < (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁)))
4336, 42mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁))
444nnzd 11644 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4544peano2zd 11648 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
46 frmy 37950 . . . . . 6 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
4746fovcl 6918 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
481, 45, 47syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
4948zred 11645 . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
50 jm2.17a 37998 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)))
511, 5, 50syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)))
52 jm3.1.d . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
5315, 49, 18, 51, 52letrd 10357 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝐾) − 1)↑𝑁) ≤ 𝐴)
546, 15, 18, 43, 53ltletrd 10360 1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2127   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  cn 11183  2c2 11233  0cn0 11455  cz 11540  cuz 11850  +crp 11996  cexp 13025   Yrm crmy 37936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-pi 14973  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-numer 15616  df-denom 15617  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801  df-log 24473  df-squarenn 37876  df-pell1qr 37877  df-pell14qr 37878  df-pell1234qr 37879  df-pellfund 37880  df-rmx 37937  df-rmy 37938
This theorem is referenced by:  jm3.1lem2  38056
  Copyright terms: Public domain W3C validator