Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27dlem2 38048
 Description: Lemma for rmydioph 38052. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...;10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2 elfzelz 12506 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ∈ ℤ
4 elfzle1 12508 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
51, 4ax-mp 5 . 2 1 ≤ 𝐴
63zrei 11546 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ
87nnrei 11192 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
9 elfzle2 12509 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴𝐵)
101, 9ax-mp 5 . . . 4 𝐴𝐵
11 letrp1 11028 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
126, 8, 10, 11mp3an 1561 . . 3 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13 jm2.27dlem2.2 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
1412, 13breqtrri 4819 . 2 𝐴𝐶
15 1z 11570 . . 3 1 ∈ ℤ
16 nnz 11562 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17 peano2z 11581 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
187, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (𝐵 + 1) ∈ ℤ
1913, 18eqeltri 2823 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
20 elfz1 12495 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶)))
2115, 19, 20mp2an 710 . 2 (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶))
223, 5, 14, 21mpbir3an 1405 1 𝐴 ∈ (1...𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   class class class wbr 4792  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  1c1 10100   + caddc 10102   ≤ cle 10238  ℕcn 11183  ℤcz 11540  ...cfz 12490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491 This theorem is referenced by:  rmydioph  38052  expdiophlem2  38060
 Copyright terms: Public domain W3C validator