Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26a 38093
Description: Lemma for jm2.26 38095. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11616 . . . . 5 2 ∈ ℤ
2 simplr 752 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zmulcl 11633 . . . . 5 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
41, 2, 3sylancr 575 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5 zsubcl 11626 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
65adantl 467 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
7 divides 15191 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)))
84, 6, 7syl2anc 573 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)))
9 simplll 758 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
10 simplrr 763 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 simpllr 760 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 simpr 471 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
13 jm2.25 38092 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
1514adantr 466 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
16 oveq2 6804 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (𝑀 + (𝐾𝑀)))
1716oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾𝑀))))
18 zcn 11589 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
19 zcn 11589 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
20 pncan3 10495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑀 + (𝐾𝑀)) = 𝐾)
2118, 19, 20syl2anr 584 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾𝑀)) = 𝐾)
2221ad2antlr 706 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑀 + (𝐾𝑀)) = 𝐾)
2322oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝐾𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
2417, 23sylan9eqr 2827 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → (𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
25 eqidd 2772 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 𝑀))
2624, 25acongeq12d 38072 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2715, 26mpbid 222 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
2827ex 397 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
2928rexlimdva 3179 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
308, 29sylbid 230 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
31 simprl 754 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
32 znegcl 11619 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
3332ad2antll 708 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → -𝑀 ∈ ℤ)
3431, 33zsubcld 11694 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ)
35 divides 15191 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾 − -𝑀) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
364, 34, 35syl2anc 573 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)))
37 frmx 38004 . . . . . . . . . . 11 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3837fovcl 6916 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
3938nn0zd 11687 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
409, 11, 39syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
41 simplrl 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
42 frmy 38005 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
4342fovcl 6916 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
449, 41, 43syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
4542fovcl 6916 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
469, 10, 45syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
4740, 44, 463jca 1122 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
4847adantr 466 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ))
4933adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → -𝑀 ∈ ℤ)
50 jm2.25 38092 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (-𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
519, 49, 11, 12, 50syl121anc 1481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
5251adantr 466 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))))
53 oveq2 6804 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁))) = (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)))
5453oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))))
5518negcld 10585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℂ)
56 pncan3 10495 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
5755, 19, 56syl2anr 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
5857ad2antlr 706 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀)) = 𝐾)
5958oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝐾 − -𝑀))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
6054, 59sylan9eqr 2827 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) = (𝐴 Yrm 𝐾))
61 rmyneg 38019 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
629, 10, 61syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6362adantr 466 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (𝐴 Yrm -𝑀) = -(𝐴 Yrm 𝑀))
6460, 63acongeq12d 38072 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − (𝐴 Yrm -𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm (-𝑀 + (𝑎 · (2 · 𝑁)))) − -(𝐴 Yrm -𝑀))) ↔ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6552, 64mpbid 222 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀))))
66 acongneg2 38070 . . . . . 6 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − --(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6748, 65, 66syl2anc 573 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
6867ex 397 . . . 4 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ((𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
6968rexlimdva 3179 . . 3 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ (𝑎 · (2 · 𝑁)) = (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
7036, 69sylbid 230 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
7130, 70jaod 848 1 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062   class class class wbr 4787  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140   + caddc 10145   · cmul 10147  cmin 10472  -cneg 10473  2c2 11276  0cn0 11499  cz 11584  cuz 11893  cdvds 15189   Xrm crmx 37990   Yrm crmy 37991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-numer 15650  df-denom 15651  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-squarenn 37931  df-pell1qr 37932  df-pell14qr 37933  df-pell1234qr 37934  df-pellfund 37935  df-rmx 37992  df-rmy 37993
This theorem is referenced by:  jm2.26  38095
  Copyright terms: Public domain W3C validator