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Theorem jm2.23 37880
Description: Lemma for jm2.20nn 37881. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))

Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 12811 . . . . . 6 (3...𝐽) ∈ Fin
2 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)
3 ssfi 8221 . . . . . 6 (((3...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (3...𝐽)) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 708 . . . . 5 {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
54a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
6 nnnn0 11337 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℕ0)
763ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℕ0)
82sseli 3632 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
9 elfzelz 12380 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
11 bccl 13149 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
127, 10, 11syl2an 493 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
1312nn0zd 11518 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℤ)
14 simpl1 1084 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
15 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑁 ∈ ℤ)
16 frmx 37795 . . . . . . . . . 10 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
1716fovcl 6807 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1814, 15, 17syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
1918nn0zd 11518 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
208adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
21 fznn0sub 12411 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝐽𝑎) ∈ ℕ0)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽𝑎) ∈ ℕ0)
23 zexpcl 12915 . . . . . . 7 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑎) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) ∈ ℤ)
2419, 22, 23syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) ∈ ℤ)
25 rmspecnonsq 37789 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2625eldifad 3619 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
2726nnzd 11519 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
28273ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
29 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑎 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 𝑎))
3029notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑎))
3130elrab 3396 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
3231simprbi 479 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
33 1zzd 11446 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
34 n2dvds1 15151 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 2 ∥ 1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
36 omoe 15135 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑎 − 1))
3710, 32, 33, 35, 36syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
38 2z 11447 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
40 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
42 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ ℤ → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
4310, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
44 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑎 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
4539, 41, 43, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
4637, 45mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
4743zred 11520 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
48 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ∈ ℝ)
49 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℝ)
519zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℝ)
52 3pos 11152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 3
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 3)
54 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 𝑎)
5548, 50, 51, 53, 54ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 < 𝑎)
56 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑎))
579, 55, 56sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ)
58 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
6059nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 1))
618, 60syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
62 2re 11128 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
6362a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
64 2pos 11150 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6564a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
66 divge0 10930 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
6747, 61, 63, 65, 66syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
68 elnn0z 11428 . . . . . . . . 9 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2)))
6946, 67, 68sylanbrc 699 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
70 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
7128, 69, 70syl2an 493 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
72 frmy 37796 . . . . . . . . . 10 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
7372fovcl 6807 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7414, 15, 73syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
75 elfzel1 12379 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 3 ∈ ℤ)
769, 75zsubcld 11525 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℤ)
77 subge0 10579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
7851, 49, 77sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (0 ≤ (𝑎 − 3) ↔ 3 ≤ 𝑎))
7954, 78mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 0 ≤ (𝑎 − 3))
80 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 − 3) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 3) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑎 − 3)))
8176, 79, 80sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
828, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
8382adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝑎 − 3) ∈ ℕ0)
84 zexpcl 12915 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
8574, 83, 84syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℤ)
8671, 85zmulcld 11526 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℤ)
8724, 86zmulcld 11526 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℤ)
8813, 87zmulcld 11526 . . . 4 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
895, 88fsumzcl 14510 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ)
90733adant3 1101 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
91 3nn0 11348 . . . 4 3 ∈ ℕ0
92 zexpcl 12915 . . . 4 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
9390, 91, 92sylancl 695 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ)
94 dvdsmul2 15051 . . 3 ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
9589, 93, 94syl2anc 694 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
96 jm2.22 37879 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
976, 96syl3an3 1401 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
98 1lt3 11234 . . . . . . . . . . . 12 1 < 3
99 1re 10077 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
10099, 49ltnlei 10196 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 3 ↔ ¬ 3 ≤ 1)
10198, 100mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 ¬ 3 ≤ 1
102 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ (3...𝐽) → 3 ≤ 1)
103101, 102mto 188 . . . . . . . . . 10 ¬ 1 ∈ (3...𝐽)
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ (3...𝐽))
105104intnanrd 983 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
106 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 1 → (2 ∥ 𝑏 ↔ 2 ∥ 1))
107106notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑏 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
108107elrab 3396 . . . . . . . 8 (1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (1 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1))
109105, 108sylnibr 318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
110 disjsn 4278 . . . . . . 7 (({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅ ↔ ¬ 1 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏})
111109, 110sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∩ {1}) = ∅)
112 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → 𝑎 = 1)
113112olcd 407 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
114 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℕ0)
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
116115ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℕ0)
117 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
118 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ≠ 1)
119 elnn1uz2 11803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘2)))
120 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑎 = 1)
121120biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ≠ 1 → ¬ 𝑎 = 1)
1221213ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) → ¬ 𝑎 = 1)
123122pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) → (𝑎 = 1 → 3 ≤ 𝑎))
124123imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 1) → 3 ≤ 𝑎)
125 uzp1 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
126 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℤ
127 dvdsmul1 15050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 1))
12838, 126, 127mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∥ (2 · 1)
129 2t1e2 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) = 2
130128, 129breqtri 4710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∥ 2
131 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 = 2 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
132131adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 2))
133130, 132mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 2 ∥ 𝑎)
134 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
135133, 134pm2.21dd 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 2) → 3 ≤ 𝑎)
136 eluzle 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑎)
137 2p1e3 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 + 1) = 3
138137fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℤ‘(2 + 1)) = (ℤ‘3)
139136, 138eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → 3 ≤ 𝑎)
140139adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → 3 ≤ 𝑎)
141135, 140jaodan 843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 2 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘(2 + 1)))) → 3 ≤ 𝑎)
142125, 141sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → 3 ≤ 𝑎)
143124, 142jaodan 843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘2))) → 3 ≤ 𝑎)
144119, 143sylan2b 491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 3 ≤ 𝑎)
145 dvds0 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
14638, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∥ 0
147 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 0 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 0))
148146, 147mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎)
149148adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 2 ∥ 𝑎)
150 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → ¬ 2 ∥ 𝑎)
151149, 150pm2.21dd 186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) ∧ 𝑎 = 0) → 3 ≤ 𝑎)
152 elnn0 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
153152biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
1541533ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
155144, 151, 154mpjaodan 844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
156116, 117, 118, 155syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ≤ 𝑎)
157 elfzle2 12383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎𝐽)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎𝐽)
159158ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎𝐽)
160 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (0...𝐽) → 𝑎 ∈ ℤ)
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℤ)
162161ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ ℤ)
163 3z 11448 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℤ
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 3 ∈ ℤ)
165 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℕ → 𝐽 ∈ ℤ)
1661653ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ ℤ)
167166ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
168 elfz 12370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ↔ (3 ≤ 𝑎𝑎𝐽)))
169162, 164, 167, 168syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ↔ (3 ≤ 𝑎𝑎𝐽)))
170156, 159, 169mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → 𝑎 ∈ (3...𝐽))
171170, 117jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
172171orcd 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) ∧ 𝑎 ≠ 1) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
173113, 172pm2.61dane 2910 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
174 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (ℤ‘0)
17591, 174eleqtri 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ (ℤ‘0)
176 fzss1 12418 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ (ℤ‘0) → (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽))
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (3...𝐽) ⊆ (0...𝐽)
178177sseli 3632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (3...𝐽) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
179178anim1i 591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
180179adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ (𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
181 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 1
182181a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ≤ 1)
183 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
1841833ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝐽)
185184adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ≤ 𝐽)
186 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ ℤ)
187 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 0 ∈ ℤ)
188166adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 𝐽 ∈ ℤ)
189 elfz 12370 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...𝐽) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐽)))
190186, 187, 188, 189syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (1 ∈ (0...𝐽) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐽)))
191182, 185, 190mpbir2and 977 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → 1 ∈ (0...𝐽))
19234a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ¬ 2 ∥ 1)
193 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ↔ 1 ∈ (0...𝐽)))
194 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 1 → (2 ∥ 𝑎 ↔ 2 ∥ 1))
195194notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (¬ 2 ∥ 𝑎 ↔ ¬ 2 ∥ 1))
196193, 195anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
197196adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ (1 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 1)))
198191, 192, 197mpbir2and 977 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 = 1) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
199180, 198jaodan 843 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)) → (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
200173, 199impbida 895 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1)))
20130elrab 3396 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ (𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎))
202 elun 3786 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}))
203 velsn 4226 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {1} ↔ 𝑎 = 1)
20431, 203orbi12i 542 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∨ 𝑎 ∈ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
205202, 204bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}) ↔ ((𝑎 ∈ (3...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) ∨ 𝑎 = 1))
206200, 201, 2053bitr4g 303 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ↔ 𝑎 ∈ ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1})))
207206eqrdv 2649 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} = ({𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∪ {1}))
208 fzfi 12811 . . . . . . . 8 (0...𝐽) ∈ Fin
209 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)
210 ssfi 8221 . . . . . . . 8 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
211208, 209, 210mp2an 708 . . . . . . 7 {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin
212211a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ∈ Fin)
213209sseli 3632 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
214213, 160syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℤ)
2157, 214, 11syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℕ0)
216215nn0cnd 11391 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
217173adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
218217nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
219218adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
220213adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ (0...𝐽))
221 fznn0sub 12411 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝐽𝑎) ∈ ℕ0)
222220, 221syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽𝑎) ∈ ℕ0)
223219, 222expcld 13048 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) ∈ ℂ)
22490zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
225213, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ0)
226 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
227224, 225, 226syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) ∈ ℂ)
228 rmspecpos 37798 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
229228rpcnd 11912 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
2302293ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
231201simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 𝑎)
232 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 1 ∈ ℤ)
23334a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 2 ∥ 1)
234214, 231, 232, 233, 36syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∥ (𝑎 − 1))
23538a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℤ)
23640a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ≠ 0)
237214, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℤ)
238235, 236, 237, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (2 ∥ (𝑎 − 1) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
239234, 238mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
240237zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℝ)
241148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (0...𝐽) → (𝑎 = 0 → 2 ∥ 𝑎))
242241con3dimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑎) → ¬ 𝑎 = 0)
243201, 242sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ¬ 𝑎 = 0)
244225, 153syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0))
245 orel2 397 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑎 = 0 → ((𝑎 ∈ ℕ ∨ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℕ))
246243, 244, 245sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 𝑎 ∈ ℕ)
247246, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → (𝑎 − 1) ∈ ℕ0)
248247nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ (𝑎 − 1))
24962a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 2 ∈ ℝ)
25064a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 < 2)
251240, 248, 249, 250, 66syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → 0 ≤ ((𝑎 − 1) / 2))
252239, 251, 68sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
253 expcl 12918 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
254230, 252, 253syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
255227, 254mulcld 10098 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
256223, 255mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
257216, 256mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
258111, 207, 212, 257fsumsplit 14515 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))))
259 expcl 12918 . . . . . . . . 9 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
260224, 91, 259sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
26188zcnd 11521 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
2625, 260, 261fsummulc1 14561 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
26312nn0cnd 11391 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐽C𝑎) ∈ ℂ)
264218adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
265264, 22expcld 13048 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) ∈ ℂ)
266230, 69, 253syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
267 expcl 12918 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝑎 − 3) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
268224, 82, 267syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) ∈ ℂ)
269266, 268mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) ∈ ℂ)
270265, 269mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) ∈ ℂ)
271260adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∈ ℂ)
272263, 270, 271mulassd 10101 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
273265, 269, 271mulassd 10101 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
274266, 268, 271mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))))
275268, 271mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
276266, 275mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
277224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
27891a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 3 ∈ ℕ0)
279277, 278, 83expaddd 13050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
28010adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℤ)
281280zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → 𝑎 ∈ ℂ)
282 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℂ
283 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
284281, 282, 283sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝑎 − 3) + 3) = 𝑎)
285284oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑((𝑎 − 3) + 3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
286279, 285eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎))
287286oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
288274, 276, 2873eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))
289288oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
290273, 289eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))
291290oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → ((𝐽C𝑎) · ((((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3)))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3))) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
292272, 291eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏}) → (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
293292sumeq2dv 14477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} (((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) = Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))))
294262, 293eqtr2d 2686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
295 1nn 11069 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
296 bccl 13149 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
2976, 126, 296sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℕ0)
298297nn0cnd 11391 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽C1) ∈ ℂ)
2992983ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) ∈ ℂ)
300 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ ℕ → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
3013003ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 − 1) ∈ ℕ0)
302218, 301expcld 13048 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) ∈ ℂ)
303 1nn0 11346 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
304 expcl 12918 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
305224, 303, 304sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) ∈ ℂ)
306 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
307306oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1) / 2) = (0 / 2)
308 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℂ
309308, 40div0i 10797 . . . . . . . . . . . . 13 (0 / 2) = 0
310307, 309eqtri 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 1) / 2) = 0
311 0nn0 11345 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
312310, 311eqeltri 2726 . . . . . . . . . . 11 ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0
313 expcl 12918 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ ∧ ((1 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
314230, 312, 313sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
315305, 314mulcld 10098 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
316302, 315mulcld 10098 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
317299, 316mulcld 10098 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
318 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → (𝐽C𝑎) = (𝐽C1))
319 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (𝐽𝑎) = (𝐽 − 1))
320319oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)))
321 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1))
322 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (𝑎 − 1) = (1 − 1))
323322oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → ((𝑎 − 1) / 2) = ((1 − 1) / 2))
324323oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))
325321, 324oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
326320, 325oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
327318, 326oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
328327sumsn 14519 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))) ∈ ℂ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
329295, 317, 328sylancr 696 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
330294, 329oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2))))) + Σ𝑎 ∈ {1} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑎) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)))))) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
33197, 258, 3303eqtrd 2689 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = ((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
332 bcn1 13140 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽C1) = 𝐽)
3337, 332syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽C1) = 𝐽)
334333eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝐽C1))
335224exp1d 13043 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
336310a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((1 − 1) / 2) = 0)
337336oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑0))
338230exp0d 13042 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑0) = 1)
339337, 338eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)) = 1)
340335, 339oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1))
341224mulid1d 10095 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 1) = (𝐴 Yrm 𝑁))
342340, 341eqtr2d 2686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))
343342oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))
344334, 343oveq12d 6708 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))) = ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2))))))
345331, 344oveq12d 6708 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))))
3465, 261fsumcl 14508 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) ∈ ℂ)
347346, 260mulcld 10098 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) ∈ ℂ)
348347, 317pncand 10431 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → (((Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)) + ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) − ((𝐽C1) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑1) · (((𝐴↑2) − 1)↑((1 − 1) / 2)))))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
349345, 348eqtrd 2685 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (Σ𝑎 ∈ {𝑏 ∈ (3...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑏} ((𝐽C𝑎) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑎)) · ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑎 − 1) / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑(𝑎 − 3))))) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3)))
35095, 349breqtrrd 4713 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑3) ∥ ((𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) − (𝐽 · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽 − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  cexp 12900  Ccbc 13129  Σcsu 14460  cdvds 15027  NNcsquarenn 37717   Xrm crmx 37781   Yrm crmy 37782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723  df-pell14qr 37724  df-pell1234qr 37725  df-pellfund 37726  df-rmx 37783  df-rmy 37784
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