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Theorem jm2.22 37879
Description: Lemma for jm2.20nn 37881. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝑖,𝑁,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥

Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 11438 . . . . 5 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℤ)
2 jm2.21 37878 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
31, 2syl3an3 1401 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽))
4 frmx 37795 . . . . . . . 8 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
54fovcl 6807 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
653adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11391 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
8 eluzelz 11735 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
9 zsqcl 12974 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
10 peano2zm 11458 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
12113ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
1312zcnd 11521 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
1413sqrtcld 14220 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
15 frmy 37796 . . . . . . . . 9 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1615fovcl 6807 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
17163adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
1817zcnd 11521 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
1914, 18mulcld 10098 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
20 simp3 1083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℕ0)
21 binom 14606 . . . . 5 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
227, 19, 20, 21syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)))↑𝐽) = Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
23 rabnc 3995 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅
2423a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∩ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) = ∅)
25 rabxm 3994 . . . . . . 7 (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥})
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) = ({𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∪ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}))
27 fzfid 12812 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (0...𝐽) ∈ Fin)
28 simpl3 1086 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝐽 ∈ ℕ0)
29 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℤ)
3029adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℤ)
31 bccl 13149 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11518 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
3328, 30, 32syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
3433zcnd 11521 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
356nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
3736zcnd 11521 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
38 fznn0sub 12411 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝐽𝑖) ∈ ℕ0)
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐽𝑖) ∈ ℕ0)
4037, 39expcld 13048 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℂ)
4112adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ)
4241zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
4342sqrtcld 14220 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
4417adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
4544zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
4643, 45mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ ℂ)
47 elfznn0 12471 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4847adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
4946, 48expcld 13048 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℂ)
5040, 49mulcld 10098 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℂ)
5134, 50mulcld 10098 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℂ)
5224, 26, 27, 51fsumsplit 14515 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))))
53 fzfi 12811 . . . . . . . . . 10 (0...𝐽) ∈ Fin
54 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
55 ssfi 8221 . . . . . . . . . 10 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
5653, 54, 55mp2an 708 . . . . . . . . 9 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
5756a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
58 breq2 4689 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → (2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ 𝑖))
5958notbid 307 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑖))
6059elrab 3396 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖))
6134adantrr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℂ)
6240adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℂ)
63 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
6417, 47, 63syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
6564zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
6665adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℂ)
6742adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
6829adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
69 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 𝑖)
70 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 1 ∈ ℤ)
71 n2dvds1 15151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 2 ∥ 1
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 2 ∥ 1)
73 omoe 15135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑖 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
7468, 69, 70, 72, 73syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∥ (𝑖 − 1))
75 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℤ
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℤ)
77 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ≠ 0)
79 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
8029, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
82 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8376, 78, 81, 82syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (2 ∥ (𝑖 − 1) ↔ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ))
8474, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ)
8580zred 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
87 dvds0 15044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
8875, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∥ 0
89 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ 2 ∥ 0))
9088, 89mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 0 → 2 ∥ 𝑖)
9190con3i 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ 2 ∥ 𝑖 → ¬ 𝑖 = 0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ¬ 𝑖 = 0)
9347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ0)
94 elnn0 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
9593, 94sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0))
96 orel2 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖 = 0 → ((𝑖 ∈ ℕ ∨ 𝑖 = 0) → 𝑖 ∈ ℕ))
9792, 95, 96sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℕ)
98 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
9997, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
10099nn0ge0d 11392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 1))
101 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
103 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
105 divge0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑖 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑖 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
10686, 100, 102, 104, 105syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2))
107 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑖 − 1) / 2)))
10884, 106, 107sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
11067, 109expcld 13048 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
11166, 110mulcld 10098 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℂ)
11262, 111mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℂ)
11361, 112mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
11460, 113sylan2b 491 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℂ)
11557, 14, 114fsummulc2 14560 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
11643adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
117116, 61, 112mul12d 10283 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
118116, 62, 111mul12d 10283 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
11943, 48expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
120119adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) ∈ ℂ)
12166, 120mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
122116, 66, 110mul12d 10283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))
123 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
125116, 109, 124expmuld 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)))
12680zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
127126ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 − 1) ∈ ℂ)
128 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℂ)
12977a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ≠ 0)
130127, 128, 129divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (2 · ((𝑖 − 1) / 2)) = (𝑖 − 1))
131130oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · ((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
13267sqsqrtd 14222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
133132oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑((𝑖 − 1) / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))
134125, 131, 1333eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)))
135134oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
136116, 110mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
13797adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ)
138 expm1t 12928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
139116, 137, 138syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(𝑖 − 1)) · (√‘((𝐴↑2) − 1))))
140135, 136, 1393eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖))
141140oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
142122, 141eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖)))
14343, 45, 48mulexpd 13063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
144143adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
145121, 142, 1443eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))
146145oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
147118, 146eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))
148147oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
149117, 148eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
15060, 149sylan2b 491 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
151150sumeq2dv 14477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))))
152115, 151eqtr2d 2686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
153152oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
15452, 153eqtrd 2685 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝐽)((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
1553, 22, 1543eqtrd 2689 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
156 rmspecsqrtnq 37787 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
1571563ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
158 nn0ssq 11834 . . . . 5 0 ⊆ ℚ
159 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
160 simp2 1082 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
16113ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → 𝐽 ∈ ℤ)
162160, 161zmulcld 11526 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ)
1634fovcl 6807 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
164159, 162, 163syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℕ0)
165158, 164sseldi 3634 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
166 zssq 11833 . . . . 5 ℤ ⊆ ℚ
16715fovcl 6807 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 · 𝐽) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
168159, 162, 167syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℤ)
169166, 168sseldi 3634 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ)
170 ssrab2 3720 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)
171 ssfi 8221 . . . . . . . 8 (((0...𝐽) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ⊆ (0...𝐽)) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
17253, 170, 171mp2an 708 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin
173172a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ∈ Fin)
17458elrab 3396 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ↔ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖))
17533adantrr 753 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
176 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐽𝑖) ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
17736, 39, 176syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
178177adantrr 753 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
17943adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
18045adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
18147ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
182179, 180, 181mulexpd 13063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
18329zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (0...𝐽) → 𝑖 ∈ ℂ)
184183adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 ∈ ℂ)
185 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ∈ ℂ)
18677a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 2 ≠ 0)
187184, 185, 186divcan2d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → (2 · (𝑖 / 2)) = 𝑖)
188187eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐽)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
189188adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 𝑖 = (2 · (𝑖 / 2)))
190189oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))))
19175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℤ)
19277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
193 nn0z 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℤ)
194 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
195191, 192, 193, 194syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℕ0 → (2 ∥ 𝑖 ↔ (𝑖 / 2) ∈ ℤ))
196195biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℤ)
197 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
198197adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
199 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
200199adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ 𝑖)
201101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 2 ∈ ℝ)
202103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 < 2)
203 divge0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑖 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑖) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
204198, 200, 201, 202, 203syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → 0 ≤ (𝑖 / 2))
205 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑖 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑖 / 2)))
206196, 204, 205sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
20747, 206sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
208207adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (𝑖 / 2) ∈ ℕ0)
209123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → 2 ∈ ℕ0)
210179, 208, 209expmuld 13051 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑(2 · (𝑖 / 2))) = (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)))
21142adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
212211sqsqrtd 14222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2) = ((𝐴↑2) − 1))
213212oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑2)↑(𝑖 / 2)) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
214190, 210, 2133eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) = (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)))
215214oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1))↑𝑖) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
216182, 215eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) = ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)))
217 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑖 / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
21812, 207, 217syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) ∈ ℤ)
21964adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
220218, 219zmulcld 11526 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((((𝐴↑2) − 1)↑(𝑖 / 2)) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖)) ∈ ℤ)
221216, 220eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖) ∈ ℤ)
222178, 221zmulcld 11526 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖)) ∈ ℤ)
223175, 222zmulcld 11526 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
224174, 223sylan2b 491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
225173, 224fsumzcl 14510 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℤ)
226166, 225sseldi 3634 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ)
22733adantrr 753 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (𝐽C𝑖) ∈ ℤ)
228177adantrr 753 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) ∈ ℤ)
22964adantrr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) ∈ ℤ)
230 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑖 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
23112, 108, 230syl2an 493 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
232229, 231zmulcld 11526 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))) ∈ ℤ)
233228, 232zmulcld 11526 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))) ∈ ℤ)
234227, 233zmulcld 11526 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ (𝑖 ∈ (0...𝐽) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑖)) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
23560, 234sylan2b 491 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥}) → ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
23657, 235fsumzcl 14510 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℤ)
237166, 236sseldi 3634 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)
238 qirropth 37790 . . . 4 (((√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ) ∧ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) ∈ ℚ) ∧ (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∈ ℚ ∧ Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))) ∈ ℚ)) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
239157, 165, 169, 226, 237, 238syl122anc 1375 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)))) = (Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))))
240155, 239mpbid 222 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((√‘((𝐴↑2) − 1)) · (𝐴 Yrm 𝑁))↑𝑖))) ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2)))))))
241240simprd 478 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 · 𝐽)) = Σ𝑖 ∈ {𝑥 ∈ (0...𝐽) ∣ ¬ 2 ∥ 𝑥} ((𝐽C𝑖) · (((𝐴 Xrm 𝑁)↑(𝐽𝑖)) · (((𝐴 Yrm 𝑁)↑𝑖) · (((𝐴↑2) − 1)↑((𝑖 − 1) / 2))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cq 11826  ...cfz 12364  cexp 12900  Ccbc 13129  csqrt 14017  Σcsu 14460  cdvds 15027   Xrm crmx 37781   Yrm crmy 37782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723  df-pell14qr 37724  df-pell1234qr 37725  df-pellfund 37726  df-rmx 37783  df-rmy 37784
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