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Theorem jm2.18 37872
Description: Theorem 2.18 of [JonesMatijasevic] p. 696. Direct relationship of the exponential function to X and Y sequences. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))

Proof of Theorem jm2.18
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11447 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
32adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
4 zmulcl 11464 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
51, 3, 4sylancr 696 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
6 nn0z 11438 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
85, 7zmulcld 11526 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℤ)
9 zsqcl 12974 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
107, 9syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
118, 10zsubcld 11525 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
12 peano2zm 11458 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
14 dvds0 15044 . . . . . 6 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ 0)
16 rmx0 37807 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
18 rmy0 37811 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
2019oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = ((𝐴𝐾) · 0))
213, 7zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
2221zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
2322mul01d 10273 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · 0) = 0)
2420, 23eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)) = 0)
2517, 24oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = (1 − 0))
26 1m0e1 11169 . . . . . . . 8 (1 − 0) = 1
2725, 26syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) = 1)
28 nn0cn 11340 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2928adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℂ)
3029exp0d 13042 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑0) = 1)
3127, 30oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = (1 − 1))
32 1m1e0 11127 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
3331, 32syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)) = 0)
3415, 33breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
35 rmx1 37808 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
3635adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
37 rmy1 37812 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3938oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = ((𝐴𝐾) · 1))
4022mulid1d 10095 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · 1) = (𝐴𝐾))
4139, 40eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)) = (𝐴𝐾))
4236, 41oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = (𝐴 − (𝐴𝐾)))
433zcnd 11521 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
4443, 29nncand 10435 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐴 − (𝐴𝐾)) = 𝐾)
4542, 44eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) = 𝐾)
4629exp1d 13043 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑1) = 𝐾)
4745, 46oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = (𝐾𝐾))
4829subidd 10418 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾𝐾) = 0)
4947, 48eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)) = 0)
5015, 49breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
51 pm3.43 924 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))))
5213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ)
535adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℤ)
54 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
55 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℤ)
5655adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℤ)
57 frmx 37795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
5857fovcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
5954, 56, 58syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
6059nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℤ)
6121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℤ)
62 frmy 37796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
6362fovcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
6454, 56, 63syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
6561, 64zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℤ)
6660, 65zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ)
6753, 66zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ)
68 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℤ → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
6956, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℤ)
7057fovcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
7154, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℕ0)
7271nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7362fovcl 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7454, 69, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
7561, 74zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
7672, 75zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ)
7767, 76zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ)
7852, 77jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
7978adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ))
807adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
81 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℕ0)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ0)
83 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑏) ∈ ℤ)
8480, 82, 83syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) ∈ ℤ)
8553, 84zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ)
86 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ ℕ → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝑏 − 1) ∈ ℕ0)
88 zexpcl 12915 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
8980, 87, 88syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ)
9085, 89zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ)
91 0z 11426 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
92 zaddcl 11455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9391, 10, 92sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
9589, 94zmulcld 11526 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ)
9690, 95jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
9796adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ))
9852, 67, 853jca 1261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ))
9998adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ))
10076, 89jca 553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ))
10213, 5, 53jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
103102ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ))
10466, 84jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ))
106 congid 37855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
10713, 5, 106syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
108107ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)))
109 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))
110 congmul 37851 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑏) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
111103, 105, 108, 109, 110syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
112111adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))))
113 simprl 809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
114 congsub 37854 . . . . . . . . . . 11 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
11599, 101, 112, 113, 114syl112anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
11613, 10zaddcld 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ)
118 congid 37855 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
11952, 89, 118syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
120 0zd 11427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
121 iddvds 15042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
12213, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
12313zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℂ)
124123subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) = ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
125122, 124breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0))
126 congid 37855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
12713, 10, 126syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))
128 congadd 37850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) − 0) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑2) − (𝐾↑2)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
12913, 13, 120, 10, 10, 125, 127, 128syl322anc 1394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))
131 congmul 37851 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ ∧ (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℤ) ∧ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) ∈ ℤ ∧ (0 + (𝐾↑2)) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) − (0 + (𝐾↑2))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
13252, 89, 89, 117, 94, 119, 130, 131syl322anc 1394 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
13311zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
13429sqcld 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
135 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
136133, 134, 135addsubd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)))
1378zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
138137, 134npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) = ((2 · 𝐴) · 𝐾))
139138oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + (𝐾↑2)) − 1) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
140136, 139eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2)) = (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1))
142141oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)))
14328ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
144143, 87expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
145137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℂ)
146 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
147144, 145, 146subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((2 · 𝐴) · 𝐾) − 1)) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)))
1485zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
150144, 149, 143mul12d 10283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
151 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℕ)
152 expm1t 12928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
153143, 151, 152syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
154153oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) = ((2 · 𝐴) · ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾)))
155150, 154eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) = ((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)))
156144mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
157155, 156oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · ((2 · 𝐴) · 𝐾)) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
158142, 147, 1573eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))))
159158oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) + (𝐾↑2))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
160132, 159breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
161160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
162 congtr 37849 . . . . . . . . . 10 (((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℤ ∧ (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) ∈ ℤ) ∧ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∈ ℤ ∧ ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))) ∈ ℤ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − (((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · (𝐾𝑏)) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
16379, 97, 115, 161, 162syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
164 rmxluc 37818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
16554, 56, 164syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))))
166 rmyluc 37819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
16754, 56, 166syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
168167oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = ((𝐴𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
1692zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
170169ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
171170, 143subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
172 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
17363zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
17454, 56, 173syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℂ)
175174, 170mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ)
176 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
177172, 175, 176sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) ∈ ℂ)
17873zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
17954, 69, 178syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
180171, 177, 179subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
181 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
182181, 174, 170mul12d 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)))
183174, 149mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
184182, 183eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
185184oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((𝐴𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
186171, 149, 174mul12d 10283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm 𝑏))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
187185, 186eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
188187oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴𝐾) · (2 · ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
189168, 180, 1883eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
190165, 189oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
19158nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
19254, 56, 191syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℂ)
193149, 192mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℂ)
19470nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
19554, 69, 194syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) ∈ ℂ)
196171, 174mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℂ)
197149, 196mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) ∈ ℂ)
198171, 179mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))) ∈ ℂ)
199193, 195, 197, 198sub4d 10479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − (𝐴 Xrm (𝑏 − 1))) − (((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
200149, 192, 196subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
201200eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) = ((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))))
202201oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((2 · 𝐴) · (𝐴 Xrm 𝑏)) − ((2 · 𝐴) · ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
203190, 199, 2023eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) = (((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))))
204143, 82expp1d 13049 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾𝑏) · 𝐾))
205 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ ℕ → 𝑏 ∈ ℂ)
206205adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → 𝑏 ∈ ℂ)
207 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
208 npcan 10328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
209206, 207, 208sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝑏 − 1) + 1) = 𝑏)
210209oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = (𝐾𝑏))
211143, 87expp1d 13049 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑((𝑏 − 1) + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
212210, 211eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾𝑏) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾))
213212oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑏) · 𝐾) = (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾))
214144, 143, 143mulassd 10101 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)))
215134addid2d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (0 + (𝐾↑2)) = (𝐾↑2))
21629sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
217215, 216eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
218217adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾 · 𝐾) = (0 + (𝐾↑2)))
219218oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (𝐾 · 𝐾)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
220214, 219eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐾↑(𝑏 − 1)) · 𝐾) · 𝐾) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
221204, 213, 2203eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (𝐾↑(𝑏 + 1)) = ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2))))
222203, 221oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
223222adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))) = ((((2 · 𝐴) · ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) − ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))) − ((𝐾↑(𝑏 − 1)) · (0 + (𝐾↑2)))))
224163, 223breqtrrd 4713 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) ∧ (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
225224ex 449 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
226225expcom 450 . . . . . 6 (𝑏 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
227226a2d 29 . . . . 5 (𝑏 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))) ∧ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
22851, 227syl5 34 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ → ((((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))) ∧ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
229 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
230 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
231230oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = 0 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0)))
232229, 231oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))))
233 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑎 = 0 → (𝐾𝑎) = (𝐾↑0))
234232, 233oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))
235234breq2d 4697 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0))))
236235imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 0 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 0) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 0))) − (𝐾↑0)))))
237 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 1))
238 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 1 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 1))
239238oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = 1 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1)))
240237, 239oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))))
241 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑎 = 1 → (𝐾𝑎) = (𝐾↑1))
242240, 241oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))
243242breq2d 4697 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1))))
244243imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 1) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 1))) − (𝐾↑1)))))
245 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 − 1)))
246 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))
247246oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1))))
248245, 247oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))))
249 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (𝐾𝑎) = (𝐾↑(𝑏 − 1)))
250248, 249oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))
251250breq2d 4697 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1)))))
252251imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 − 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 − 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 − 1)))) − (𝐾↑(𝑏 − 1))))))
253 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
254 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
255254oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
256253, 255oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
257 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝐾𝑎) = (𝐾𝑏))
258256, 257oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))
259258breq2d 4697 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏))))
260259imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑏) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑏))) − (𝐾𝑏)))))
261 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
262 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
263262oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
264261, 263oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
265 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐾𝑎) = (𝐾↑(𝑏 + 1)))
266264, 265oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))
267266breq2d 4697 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1)))))
268267imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))) − (𝐾↑(𝑏 + 1))))))
269 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
270 oveq2 6698 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
271270oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎)) = ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁)))
272269, 271oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) = ((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))))
273 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑁 → (𝐾𝑎) = (𝐾𝑁))
274272, 273oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
275274breq2d 4697 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎)) ↔ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁))))
276275imbi2d 329 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑎) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑎))) − (𝐾𝑎))) ↔ ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))))
27734, 50, 228, 236, 244, 252, 260, 268, 2762nn0ind 37827 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁))))
278277impcom 445 . 2 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
2792783impa 1278 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∥ (((𝐴 Xrm 𝑁) − ((𝐴𝐾) · (𝐴 Yrm 𝑁))) − (𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cexp 12900  cdvds 15027   Xrm crmx 37781   Yrm crmy 37782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723  df-pell14qr 37724  df-pell1234qr 37725  df-pellfund 37726  df-rmx 37783  df-rmy 37784
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