Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.17c 37948
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 11203 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 eluzelre 11811 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 remulcl 10134 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 698 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6 nnz 11512 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
87peano2zd 11598 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 frmy 37898 . . . . . . . 8 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
109fovcl 6882 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
1110zred 11595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
128, 11syldan 488 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
135, 12remulcld 10183 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14 nncn 11141 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1514adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16 ax-1cn 10107 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
17 pncan 10400 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1815, 16, 17sylancl 697 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1918oveq2d 6781 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
209fovcl 6882 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
2120zred 11595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
226, 21sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2803 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
2413, 23resubcld 10571 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
25 nnnn0 11412 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2625adantl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
275, 26reexpcld 13140 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
285, 27remulcld 10183 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29 rmy0 37913 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
3029adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
31 nngt0 11162 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3231adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
33 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
34 0zd 11502 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
35 ltrmy 37938 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1439 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3732, 36mpbid 222 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
3830, 37eqbrtrrd 4784 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
3938, 19breqtrrd 4788 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)))
4023, 13ltsubposd 10726 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
4139, 40mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42 jm2.17b 37947 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
4325, 42sylan2 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
44 2nn 11298 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
45 eluz2nn 11840 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
46 nnmulcl 11156 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4744, 45, 46sylancr 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4847nngt0d 11177 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
4948adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2 · 𝐴))
50 lemul2 10989 . . . . 5 (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1443 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
5243, 51mpbid 222 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 10310 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
54 rmyluc2 37922 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
558, 54syldan 488 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
565recnd 10181 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5756, 26expp1d 13124 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)))
5827recnd 10181 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
5958, 56mulcomd 10174 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
6057, 59eqtrd 2758 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
6153, 55, 603brtr4d 4792 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  cexp 12975   Yrm crmy 37884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-pi 14923  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-numer 15566  df-denom 15567  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-limc 23750  df-dv 23751  df-log 24423  df-squarenn 37824  df-pell1qr 37825  df-pell14qr 37826  df-pell1234qr 37827  df-pellfund 37828  df-rmx 37885  df-rmy 37886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator